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Andernfalls,8.7 Krylovraum-Methoden 3352) berechne α k := w T k Av k/δ k , β 1 := ǫ 1 := 0 und für k > 1,sowieβ k := σ kδ kδ k−1,ǫ k := ρ kδ kδ k−1,ṽ k+1 := Av k − α k v k − β k v k−1 ,˜w k+1 := A T w k − α k w k − ǫ k w k−1 .3) Berechne ρ k+1 :=‖ṽ k+1 ‖ 2 , σ k+1 :=‖˜w k+1 ‖ 2 .Falls ρ k+1 = 0 oder σ k+1 = 0, setze m := k und stop.4) Andernfalls berechne v k+1 :=ṽ k+1 /ρ k+1 , w k+1 :=˜w k+1 /σ k+1 .Setze k := k + 1 und gehe zu 1).Der folgende Satz zeigt, daß die v k , w k die verlangten Eigenschaftenhaben:(8.7.3.2) Satz: Sei m der Abbruchindex von (8.7.3.1). Dann gilt für alle1 ≤ k ≤ m(8.7.3.3)sowie(8.7.3.4) w T k v j =span[v 1 ,...,v k ] = K k (v 1 , A),span[w 1 ,...,w k ] = K k (w 1 , A T ),{δj ≠ 0 für j = k,0 für j ≠ k, j = 1,...,m.Die Vektoren v 1 , ..., v m bzw. die Vektoren w 1 , ..., w m sind linear unabhängig.Beweis: Die Eigenschaft (8.7.3.3) folgt sofort aus den Schritten 2)–4)des Verfahrens. Die Biorthogonalität (8.7.3.4) zeigt man durch vollständigeInduktion. Wir nehmen dazu an, daß (8.7.3.4) für ein k mit 1 ≤ k < mgelte:w T i v j = 0, v T i w j = 0, 1 ≤ i < j ≤ k.Wegen k < m ist dann δ j ≠ 0für alle j ≤ k, esistρ k+1 ≠ 0, σ k+1 ≠ 0 undes sind v k+1 und w k+1 wohldefiniert. Wir wollen zeigen, daß dann auch dieVektoren v 1 , ..., v k+1 und w 1 , ..., w k+1 biorthogonal sind.Als erstes beweist man w T iv k+1 = 0für i ≤ k. Für i = k folgt nämlichaus der Definition von ṽ k+1 , der Induktionsvoraussetzung und der Definitionvon α k