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8.7 Krylovraum-Methoden 331‖b − Ax‖ 2 =‖b − Ax 0 − AV k y‖ 2=‖r 0 − V k+1 ¯H k y‖ 2=‖V k+1 (βē 1 − ¯H k y)‖ 2≠‖βē 1 − ¯H k y‖ 2 ,so daß die Minimierung von ‖βē 1 − ¯H k y‖ 2 nicht mehr mit der Minimierungvon ‖b − Ax‖ 2 äquivalent ist. Da die v i i.allg. näherungsweise orthogonalsind, ist es trotzdem sinnvoll, die Optimallösung y k vonminy‖βē 1 − ¯H k y‖ 2und den zugehörigen Vektor x k := x 0 + V k y k zu berechnen: x k wird dannzwar ‖b − Ax‖ 2 auf x 0 + K k (r 0 , A) nicht exakt minimieren, aber mit guterNäherung.Da die ¯H k und die Dreiecksmatrizen R k jetzt Bandmatrizen der Bandbreitel bzw. l + 1 sind, ist es für l ≪ n vorteilhaft, die Rekursionsformeln(8.7.2.19) und (8.7.2.20) zu verwenden: Für die Durchführung desVerfahrens muß man dann nur die letzten l Vektoren v k ,..., v k−l+1 undl zusätzliche Vektoren p k−1 , ..., p k−l speichern; die komplette Speicherungder Matrix R k entfällt, nur die letzte Spalte von R k wird benötigt.Die Formeln (8.7.2.15) und (8.7.2.19) vereinfachen sich wegen h i,k = 0füri ≤ k − l, r i,k = 0für i ≤ k − l − 1zu˜r k = Ω k−1 Ω k−2 ···Ω k−l h k ,p k = 1r k,k(vk −∑k−1i=max{1,k−l}r i,k p i).Insgesamt erhält man so das folgende quasi-minimale Residuen-Verfahren(QGMRES-Verfahren):(8.7.2.22) QGMRES(l):Gegeben ǫ>0, 2 ≤ l ≪ n ganz,und ein x 0 mit r 0 := b − Ax 0 ≠ 0.0) Setze β := ¯γ 0 :=‖r 0 ‖ 2 , v 1 := r 0 /β, k := 1.1) Berechne w := Av k .2) Für i = 1, 2, ..., k, berechne{ 0, falls i ≤ k − l,h i,k :=vi T w, sonst,w := w − h i,k v i .