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7.2 Anfangswertprobleme 173Lösungen erwarten, die durch „Grenzschichten“ und „asymptotische Phasen“gekennzeichnet sind. Solche Systeme bereiten bei der numerischenIntegration große Schwierigkeiten.Ein Beispiel [vgl. dazu Grigorieff (1972, 1977)] möge das erläutern.Gegeben sei das System (mit der unabhängigen Variablen x)y ′ 1 (x) = λ 1 + λ 22y 1 + λ 1 − λ 2y 2 ,2(7.2.16.1)y 2 ′ (x) = λ 1 − λ 2y 1 + λ 1 + λ 2y 2 ,2 2mit negativen Konstanten λ i < 0, i = 1, 2. Seine allgemeine Lösung ist(7.2.16.2)y 1 (x) = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x ,y 2 (x) = C 1 e λ 1x − C 2 e λ 2x ,mit Integrationskonstanten C 1 , C 2 .Integriert man (7.2.16.1) mit dem Euler-Verfahren [s. (7.2.1.3)], so lassensich die numerischen Näherungen geschlossen darstellen,(7.2.16.3)η 1i = C 1 (1 + hλ 1 ) i + C 2 (1 + hλ 2 ) i ,η 2i = C 1 (1 + hλ 1 ) i − C 2 (1 + hλ 2 ) i .Offensichtlich konvergieren die Näherungen für i →∞nur dann gegen 0,falls die Schrittweite h so klein gewählt wird, daß(7.2.16.4) |1 + hλ 1 | < 1 und |1 + hλ 2 | < 1.Es sei nun |λ 2 | groß gegen |λ 1 |. Wegen λ 2 < 0 ist dann in (7.2.16.2) derEinfluß der Komponente e λ 2x gegenüber e λ 1x vernachlässigbar klein. Leidergilt das nicht für die numerische Integration. Wegen (7.2.16.4) muß nämlichdie Schrittweite h > 0 so klein gewählt werden, daßh < 2|λ 2 | .Für den Fall λ 1 =−1, λ 2 =−1000 ist h ≤ 0.002. Obwohl also e −1000xzur Lösung praktisch nichts beiträgt, bestimmt der Faktor 1000 im Exponentendie Schrittweite. Dieses Verhalten bei der numerischen Integrationbezeichnet man als steif (stiff equations).Ein solches Verhalten ist allgemein zu erwarten,wenn für eine Differentialgleichungy ′ = f (x, y) die Matrix f y (x, y) Eigenwerte λ mit Reλ ≪ 0besitzt.Das Euler-Verfahren (7.2.1.3) ist für die numerische Integration solcherSysteme kaum geeignet; gleiches gilt für die RKF-Verfahren, Mehrschrittverfahrenund Extrapolationsverfahren, die bisher behandelt wurden.