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170 7 Gewöhnliche DifferentialgleichungenS(¯x; h) (7.2.14.1) sind Vektoren des R n . Die asymptotischen Entwicklungen(7.2.12.9) und (7.2.12.13) sind nach wie vor richtig und bedeuten, daßjede Komponente von S(¯x; h) ∈ R n eine asymptotische Entwicklung derangegebenen Form besitzt. Die Elemente T ik von (7.2.14.3) sind ebenfallsVektoren aus dem R n , die wie eben komponentenweise aus den entsprechendenKomponenten von S(¯x; h i ) berechnet werden.Bei der praktischen Realisierung des Verfahrens tritt das Problem auf,wie man die Grundschrittweite H wählen soll. Wählt man H zu groß,muß man ein sehr großes Tableau (7.2.14.3) konstruieren, bevor man eingenügend genaues T ik findet: i ist eine große Zahl und um T ik zu bestimmen,hat man S(¯x; h j ) für j = 0, 1, ..., i zu berechnen, wobei die Berechnungvon S(¯x; h j ) allein n j +1 Auswertungen der rechten Seite f (x, y) der Differentialgleichungerfordert. So wachsen bei der Folge F (7.2.14.2) die Zahlens i := ∑ ij=0 (n j + 1) und damit der Rechenaufwand für ein Tableau mit i + 1Schrägzeilen mit i rasch an: es gilt s i+1 ≈ 1.4s i .Wenn die Schrittweite H zu klein ist, werden unnötig kleine und damitzu viele Integrationsschritte (x 0 , y(x 0 )) → (x 0 + H, y(x 0 + H)) gemacht.Es ist deshalb für die Effizienz des Verfahrens sehr wichtig, daßman ähnlich wie in 7.2.5 einen Mechanismus für die Schätzung einervernünftigen Schrittweite H in das Verfahren einbaut. Dieser Mechanismusmuß zweierlei leisten:a) Er muß sicherstellen, daß eine zu große Schrittweite H reduziert wird,bevor ein unnötig großes Tableau konstruiert wird.b) Er sollte dem Benutzer des Verfahrens (des Programms) für dennächsten Integrationsschritt eine brauchbare Schrittweite ¯H vorschlagen.Wir wollen auf solche Mechanismen nicht weiter eingehen und es mitder Bemerkung bewenden lassen, daß man im Prinzip ebenso wie in Abschnitt7.2.5 vorgehen kann.Ein ALGOL-Programm für die Lösung von Anfangswertproblemen mittelsExtrapolationsverfahren findet man in Bulirsch und Stoer (1966).7.2.15 Vergleich der Verfahren zur Lösungvon AnfangswertproblemenDie beschriebenen Verfahren zerfallen in drei Klassen,a) Einschrittverfahren,b) Mehrschrittverfahren,c) Extrapolationsverfahren.Alle Verfahren gestatten eine Änderung der Schrittweite h in jedem Integrationsschritt,eine Anpassung der jeweiligen Schrittweite stößt bei ihnen