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62 6 Eigenwertproblemeeine obere Dreiecksmatrix ist. Diese Überlegungen motivieren einen Teilder Aussagen des folgenden Satzes, der die Konvergenz des QR-Verfahrensbeschreibt, falls alle Eigenwerte verschiedene Beträge haben.(6.6.4.12) Satz: Die n×n-Matrix A =: A 1 erfülle folgende Voraussetzungen:(1) Die Eigenwerte λ i von A seien betragsgemäß verschieden|λ 1 | > |λ 2 | > ···> |λ n |.(2) Die Matrix Y mit A = XDY, X = Y −1 , D = diag(λ 1 ,...,λ n ) =Jordansche Normalform von A, besitze eine Dreieckszerlegung⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0x ··· xY = L Y R Y , L Y = ⎣ .. .. ⎦ , R Y = ⎣ . .. .⎦ .x ··· 10 xDann haben die Matrizen A i , Q i , R i des QR-Verfahrens (6.6.4.3) folgendeKonvergenzeigenschaften: Es gibt PhasenmatrizenS i = diag(σ (i)1 ,...,σ(i) (i)n ), |σk|=1,so daß gilt lim i S Hi−1 Q i S i = I sowielim S iHi→∞R i S i−1 = limi→∞S Hi−1 A i S i−1 =⎡⎢⎣⎤λ 1 x ··· x.λ ... ..2 .⎥ .. x⎦ .0 λ nInsbesondere gilt lim i→∞ a (i)jj= λ j , j = 1, ..., n, für A i = ( a (i) )jk .Beweis (nach Wilkinson (1965)): Wir führen den Beweis unter derzusätzlichen Annahme λ n ≠ 0 also der Existenz von D −1 . Wegen X −1 = Yfolgt dann aus den Voraussetzungen des Satzes(6.6.4.13)A i = XD i Y= Q X R X D i L Y R Y= Q X R X (D i L Y D −i )D i R Y ,wenn Q X R X = X die QR-Zerlegung der nichtsingulären Matrix X in eineunitäre Matrix Q X und eine (nichtsinguläre) obere Dreiecksmatrix R X ist.Nun ist D i L Y D −i =: ( l (i) )jk eine untere Dreiecksmatrix mitl (i)jk= (λjλ k) il jk, L Y =: (l jk ), l jk =Wegen |λ j | < |λ k | für j > k folgt lim i l (i)jk{ 1 für j = k,0 für j < k.= 0für j > k und daher