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324 8 Iterationsverfahren für große lineare Gleichungssystemeim Widerspruch zur Nichtsingularität von A. Der Beweis von rg ¯H k = k fürk < m folgt direkt aus dem Nichtverschwinden der Subdiagonalelementeh j+1, j , j = 1, 2, ···, k, von ¯H k für k < m.Mit Hilfe der Matrizen ¯H k , H k und V k läßt sich die Lösung x k von(8.7.2.1) leicht berechnen. Zunächst besitzt jedes x ∈ x 0 + K k (r 0 , A) dieForm x = x 0 + V k y mit einem Vektor y ∈ R k . Es folgt wegen r 0 = βv 1 =βV k+1 ē 1 , ē 1 = (1, 0, ···, 0) T ∈ R k+1 , Vk+1 T V k+1 = I , und (8.7.2.7) fürk < m‖b − Ax‖ 2 =‖b − Ax 0 − AV k y‖ 2=‖r 0 − V k+1 ¯H k y‖ 2=‖V k+1 (βē 1 − ¯H k y)‖ 2=‖βē 1 − ¯H k y‖ 2 .Die Lösung y k des linearen Ausgleichsproblems(8.7.2.10) miny∈R k ‖βē 1 − ¯H k y‖ 2liefert die Lösung x k von (8.7.2.1), x k = x 0 + V k y k .Für k = m zeigt man unter Verwendung von (8.7.2.6) auf die gleicheWeise für x ∈ x 0 + K m (r 0 , A)(8.7.2.11)‖b − Ax‖ 2 =‖r 0 − AV m y‖ 2=‖V m (βe 1 − H m y)‖ 2=‖βe 1 − H m y‖ 2 ,wobei jetzt e 1 = (1, 0,...,0) T ∈ R m . Man kann nun den Abbruchindex mvon (8.7.2.3) auf eine weitere Weise mit Hilfe der x k (8.7.2.1) charakterisieren:(8.7.2.12) Falls A nichtsingulär ist, ist x m = A −1 b die Lösung von Ax = b,und für alle k < m gilt x k ≠ A −1 b: Der Abbruchindex m ist der erste Indexk für den x k = A −1 b die Lösung von Ax = b ist.Beweis: Wir verwenden (8.7.2.8). Für k = m ist H m nichtsingulär, sodaß es genau ein y m ∈ R m mit H m y m = βe 1 gibt. Also ist wegen (8.7.2.11)das entsprechende x m := x 0 + V m y m Lösung von Ax = b.Für k < m sind alle Subdiagonalelemente h j+1, j , j = 1, 2,...,k, derHessenbergmatrix ¯H k von Null verschieden. Das lineare Gleichungssystem⎡h 1,1 ... h⎤1,k⎡ ⎤βh.¯H k y = ⎢ 2,1 .. .⎥⎣.. .. ⎦ y = ⎢ ⎥⎣hk,k0.⎦ = βē 10 ... h0k+1,k