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318 8 Iterationsverfahren für große lineare Gleichungssysteme(8.7.1.11) B = 1 ( 1)( 1) −1 ( 12 − ω ω D − E ω D ω D − E T)mit einem geeigneten ω ∈ (0, 2) zu wählen [s. Axelsson (1977)]. Hiersind D und E durch die Standardzerlegung (8.1.5) von A = D − E − E Tgegeben. Man beachte, daß der Faktor L = (1/ω)D − E von B eine untereDreiecksmatrix ist, die ebenso dünn besetzt ist wie A: L ist an den gleichenStellen wie A unterhalb der Diagonalen von Null verschieden.Von Meijerink und van der Vorst (1977) stammt der Vorschlag, geeigneteVorkonditionierungsmatrizen B und ihre Choleskyzerlegung durch eine„unvollständige Choleskyzerlegung“ von A zu bestimmen. Dabei betrachtenwir etwas allgemeiner als in Abschnitt 4.3 Choleskyzerlegungen der FormB = LDL T , wobei L eine untere Dreiecksmatrix mit l ii = 1 und D einepositiv definite Diagonalmatrix ist. Bei der unvollständigen Choleskyzerlegungkann man sogar die Besetzungsstruktur von L vorschreiben: Zu einerbeliebigen Menge G ⊂{(i, j) | j ≤ i ≤ n} von Indexpaaren mit (i, i) ∈ Gfür alle i kann man ein L mit der Eigenschaftl i, j ≠ 0 ⇒ (i, j) ∈ Gfinden. Das Verfahren ist allerdings nur für positiv definite Matrizen Adefiniert, die gleichzeitig M-Matrizen sind, d.h. Matrizen A mit a ij ≤ 0füri ≠ j und A −1 ≥ 0.M-Matrizen A kommen in den Anwendungen sehr häufig vor, und es gibteinfache hinreichende Kriterien für sie. Beispielsweise ist jede Matrix A = A T mita ii > 0, a ij ≤ 0für i ≠ j, die die Voraussetzungen des Satzes (8.2.9) erfüllt(schwaches Zeilensummenkriterium), eine M-Matrix (so z. B. die Matrix A (8.4.5)des Modellproblems): Man zeigt dies ähnlich wie in den Sätzen (8.2.9), (8.2.12)durch den Nachweis der Konvergenz der Neumannreihefür A = D(I − J).A −1 = (I + J + J 2 +···)D −1 ≥ 0Die unvollständige Choleskyzerlegung einer M-Matrix A zu gegebenemG erzeugt folgendermaßen die Faktoren der Matrix B = LDL T [vgl. dasProgramm für das Cholesky-Verfahren am Ende von Abschnitt 4.3]:(8.7.1.12) Unvollständige CholeskyzerlegungFür i = 1, ..., n :d i := a ii − ∑ i−1k=1 d klik2Für j = i + 1, ..., n:{d i l ji :=a ji − ∑ i−1k=1 d kl jk l ik falls (i, j) ∈ G,0 sonst.