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74 6 EigenwertproblemeDaß die Eigenwerte in dem Beispiel der Größe nach geordnet erscheinen,ist Zufall: Bei Verwendung von Shifts ist dies i.a. nicht zu erwarten.Bei der praktischen Realisierung des QR-Schritts (6.6.5.2) mit Shifts fürsymmetrische Tridiagonalmatrizen A i besteht für großes |k i | die Gefahr desGenauigkeitsverlusts bei der Subtraktion bzw. Addition von k i I in (6.6.5.2).Man kann jedoch mit Hilfe von Satz (6.6.5.1) A i+1 direkt aus A i berechnen,ohne in jedem Schritt die Matrix k i I explizit zu subtrahieren und zuaddieren. Dazu wird ausgenutzt, daß man bei gegebenem A i und k i die ersteSpalte q 1 der Matrix Q i := [q 1 ,...,q n ] allein aus der ersten Spalte vonA i − k i I berechnen kann: Wir sahen zu Beginn dieses Abschnitts, daß sichQ i = Ω H 1,2 Ω H 2,3 ···Ω H n−1,nals Produkt von Givensmatrizen Ω j, j+1 schreiben läßt: Aufgrund der Strukturder Ω j, j+1 gilt Ω j, j+1 e 1 = e 1 für j > 1, so daß q 1 wegen q 1 = Q i e 1 =Ω H 1,2 e 1 auch gleich der ersten Spalte von Ω H 1,2 ist. Dabei ist Ω 1,2 geradedie Givensmatrix, die das erste Subdiagonalelement von A i −k i I annulliert,zur Bestimmung von Ω 1,2 genügt daher die Kenntnis der ersten Spalte vonA i − k i I . Man berechnet dann die Matrix B = Ω H 1,2 A iΩ 1,2 mit der Struktur⎡ x x x 0 ⎤x x xx x x xB =.⎢ x x ...⎥⎣ . .. . .. ⎦ x0 x xDie Matrix B, die symmetrisch und bis auf die Elemente b 1,3 = b 3,1 fasteine Tridiagonalmatrix ist, transformiert man wie in Abschnitt 6.5.1 miteiner Serie von geeigneten Givensmatrizen des Typs ˜Ω 2,3 , ˜Ω 3,4 , ..., ˜Ω n,n−1in eine symmetrische Tridiagonalmatrix C, die zu B unitär ähnlich ist:B → ˜Ω H 2,3 B ˜Ω 2,3 →···→ ˜Ω H n−1,n ··· ˜Ω H 2,3 B ˜Ω 2,3 ··· ˜Ω n−1,n = C.˜Ω 2,3 wird dabei so gewählt, daß das Element b 3,1 von B annulliert wird,wobei i.a. in ˜Ω H 2,3 B ˜Ω 2,3 ein Element ≠ 0 an der Position (4, 2) (und (2,4))erzeugt wird, dieses wird durch passende Wahl von ˜Ω 3,4 annulliert usw.Für n = 5 haben die Matrizen B →···→C folgende Struktur, wobei 0 frischannullierte Elemente und ∗ neue Elemente ≠ 0 bezeichnen: