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36 6 Eigenwertproblemeder Quadrate der Nichtdiagonalelemente von A (i) bzw. A (i+1) .Für sie findetman wegen (6.5.2.2)0 ≤ S ( A (i+1)) = S ( A (i)) − 2 ∣ ∣a jk∣ ∣2< S(A(i) ) falls a jk ≠ 0.Die Folge der nichtnegativen Zahlen S(A (i) ) nimmt also monoton ab, istalso konvergent. Man kann lim i→∞ S(A (i) ) = 0 zeigen (d.h. die A (i) konvergierengegen eine Diagonalmatrix), wenn man die Transformationen Ω jkin geeigneter Reihenfolge ausführt, nämlich zeilenweise,Ω 12 , Ω 13 , ..., Ω 1n ,Ω 23 , ..., Ω 2n ,.Ω n−1,n ,und diese Reihenfolge zyklisch wiederholt. Unter diesen Bedingungen kannsogar die quadratische Konvergenz des Jacobi-Verfahrens bewiesen werden,wenn A nur einfache Eigenwerte besitzt:S ( A (i+N)) ≤ S( A (i)) 2n(n − 1)mit N := ,δ2∣δ := min ∣λ i (A) − λ j (A) ∣ > 0.i≠ j[Beweis s. Wilkinson (1962), weitere Literatur: Rutishauser (1971), Schwarz,Rutishauser, Stiefel (1972), Parlett(1980)].Trotz dieser schnellen Konvergenz und des weiteren Vorzugs, daß manaus den verwendeten Ω jk leicht zusätzlich ein orthogonales System von Eigenvektorenvon A erhält, ist es in praktischen Anwendungen, insbesonderefür großes n vorteilhafter, die Matrix A mit dem Householder-Verfahren[s. Abschnitt 6.5.1] auf eine Tridiagonalmatrix J zu reduzieren und derenEigenwerte und Eigenvektoren mit dem QR-Verfahren zu berechnen, weildieses Verfahren kubisch konvergent ist. Liegt A bereits als Bandmatrix vor,so gilt dies erst recht: Beim QR-Verfahren bleibt diese Gestalt erhalten, dasJacobi-Verfahren jedoch zerstört sie.Es sei noch erwähnt, daß P. Eberlein ein dem Jacobi-Verfahren ähnlichesVerfahren für nichthermitesche Matrizen entwickelt hat. Ein ALGOL-Programm für diese Methode und nähere Einzelheiten findet man in Eberlein(1971).