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198 7 Gewöhnliche Differentialgleichungenfür beliebiges s (0) ∈ R n . Mit anderen Worten, die Lösung ¯s von F(s) = 0und damit die Lösung des linearen Randwertproblems (7.3.2.1) wird ausgehendvon beliebigen Startwerten s (0) durch das Verfahren (7.3.1.14) ineinem Iterationsschritt geliefert.7.3.3 Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungvon RandwertproblemenUnter sehr einschränkenden Bedingungen kann die eindeutige Lösbarkeitgewisser Randwertprobleme gezeigt werden. Dazu betrachten wir im folgendenRandwertprobleme mit nichtlinearen Randbedingen(7.3.3.1)y ′ = f (x, y),r ( y(a), y(b) ) = 0.Das durch (7.3.3.1) gegebene Problem ist genau dann lösbar, wenn dieFunktion F(s) (7.3.1.8) eine Nullstelle ¯s besitzt(7.3.3.2) F(¯s) = r (¯s, y(b;¯s) ) = 0.Letzteres ist sicherlich erfüllt, falls man eine nichtsinguläre n × n-Matrix Qfinden kann, so daß(7.3.3.3) Φ(s) := s − QF(s)eine kontrahierende Abbildung des R n ist [s. Abschnitt 5.2]; die Nullstelle¯s von F(s) ist dann Fixpunkt von Φ, Φ(¯s) =¯s.Mit Hilfe von Satz (7.1.8) können wir nun folgendes Resultat beweisen,das für lineare Randbedingungen von Keller (1968) stammt.(7.3.3.4) Satz: Für das Randwertproblem (7.3.3.1) geltea) f und D y f sind stetig auf S :={(x, y) | a ≤ x ≤ b, y ∈ R n }.b) Es gibt ein k ∈ C[a, b] mit ‖D y f (x, y)‖≤k(x) für alle (x, y) ∈ S.c) Die MatrixP(u,v):= D u r(u,v)+ D v r(u,v)besitzt für alle u,v∈ R n eine Darstellung der FormP(u,v)= P 0(I + M(u,v))mit einer konstanten nichtsingulären Matrix P 0 und einer Matrix M =M(u,v), und es gibt Konstanten µ und m mitfür alle u,v∈ R n .‖M(u,v)‖≤µ