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352 8 Iterationsverfahren für große lineare GleichungssystemeDa, wie man sich leicht überzeugt, die Tridiagonalmatrizen A (r)jfür dieangegebene Diskretisierung von Problem (8.8.1) positiv definit sind, kannman diese Systeme mittels Dreieckszerlegung von A (r)johne Pivotsuche [s.4.3] mit sehr geringem Aufwand lösen.Die numerische Instabilität, die in (8.8.6) b) wegen des exponentiellenWachstums der A (r) auftritt, kann man nach dem Vorschlag von Buneman sovermeiden, daß man statt der Größen b (r)jandere Vektoren p (r)j, q (r)j, j = 1,2, ..., q r , einführt, die mit den b (r)jauf folgende Weise zusammenhängen(8.8.13) b (r)j= A (r) p (r)j+ q (r)j, j = 1, 2,...,q r ,und die man numerisch stabiler als die b (r)jmit diesen Eigenschaften sind folgendermaßen rekursiv berechenbar:q (r)j(8.8.14).berechnen kann. Vektoren p (r)Start: Setze p (0)j:= 0, q (0)j= b j = b (0)j, j = 1, 2, ..., q 0 .Für r = 0, 1, ..., k − 1:Berechne für j = 1, 2, ..., q r+1 :a) p (r+1)jb) q (r+1)j:= p (r)2 j− ( A (r)) −1[p(r)2 j−1 + p(r) 2 j+1 − ] q(r) 2 j ,:= q (r)2 j−1 + q(r) 2 j+1 − 2p(r+1) j.Natürlich läuft die Berechnung von p (r+1)jin Teilschritt a) darauf hinaus,daß man wie eben beschrieben [s. (8.8.12)] zunächst die Lösung u desGleichungssystemsA (r) u = p (r)2 j−1 + p(r) 2 j+1 − q(r) 2 jmit Hilfe der Faktorisierung von A (r) von Satz (8.8.8) bestimmt, und dannmit Hilfe von u berechnet:p (r+1)jp (r+1)j:= p (r)2 j− u.Wir wollen durch Induktion nach r zeigen, daß die Vektoren p (r)j, q (r)j, diedurch (8.8.14) definiert sind, die Beziehung (8.8.13) erfüllen.Für r = 0 ist (8.8.13) trivial. Wir nehmen induktiv an, daß (8.8.13) fürein r ≥ 0 richtig ist. Wegen (8.8.6) b) und A (r+1) = 2I − (A (r) ) 2 gilt dannj,