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328 8 Iterationsverfahren für große lineare GleichungssystemeNun ist ē 1 ∈ R k+1 der erste Einheitsvektor in R k+1 . Setzt man ḡ 0 := βē 1 ,so besitzt der Vektor Q k−1 ḡ 0 (wegen ḡ k−1 ∈ R k−1 ) die Form⎡ ⎤γ 1[ ]ḡk−1.Q k−1 ḡ 0 = , mit ḡ0k−1 = ⎢. ⎥⎣ ⎦γ .k−1¯γ kAlso gilt für ḡ k := Ω k Ω k−1 ···Ω 1 ḡ 0d.h. es giltḡ k =⎡⎢⎣⎤γ 1.γ k¯γ k+1⎥⎦ := Ω k[ ]ḡk−10⎡= Ω k ⎢⎣(8.7.2.18) γ k = c k ¯γ k , ¯γ k+1 = s k ¯γ k .γ 1.γ k−1¯γ k0⎤⎥⎦ ,Illustration des Schritts k − 1 → k für k = 3:⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤γ[ ] 1 x x γ 1ḡ2 ⎢ γ= 0⎣ 2 ⎥ ⎢ x ⎥¯γ3⎦ = ⎣x⎦ Ω 3 ⎢ x ⎥ ⎢γ −→ ⎣∗⎦ = ⎣ 2 ⎥γ⎦ =: ḡ 3 .30 0 ∗ ¯γ4Die Größe des Residuums b − Ax k läßt sich also wegen (8.7.2.14) und(8.7.2.18) rekursiv berechnen, ‖b − Ax k ‖ 2 =|¯γ k+1 |=|s k ¯γ k |,sodaß‖b − Ax k ‖ 2 =|¯γ k+1 |=|s k s k−1 ···s 1 |β.Man kann deshalb die Größe des Residuums ‖b − Ax k ‖ 2 bestimmen, ohnevorher y k als Lösung von R k y = g k und x k = x 0 + V k y k zu berechnen.Dies kann man im GMRES-Algorithmus ausnutzen, indem man zu einergewünschten Genauigkeit ǫ> 0 erst dann die Lösung x k von (8.7.2.1)berechnet, wenn |¯γ k+1 |=|s k s k−1 ···s 1 |β ≤ ǫ ist.Wir wollen kurz zeigen, daß man auch die Vektoren x k rekursiv berechnenkann. Wegenx k = x 0 + V k y k = x 0 + V k Rk−1 g k =: x 0 + P k g kführen wir die Matrizen P k := V k Rk −1 = [p 1 ,...,p k ] mit den Spalten p i ein.Wegen[ ]Rk−1 rR k =k ,0 r k,k