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20 6 EigenwertproblemeBeweis: Nach dem Satz von Schur (6.4.1) gibt es eine unitäre MatrixU mit⎡⎤λ 1 ∗ · · ∗· · ·U H AU = ⎢ · · · ⎥⎣⎦ =: R = [r ik].· ∗0 λ nAus A H A = AA H folgt nunR H R = U H A H UU H AU = U H A H AU= U H AA H U = U H AUU H A H U= RR H .Daraus folgt für das (1, 1)-Element von R H R = RR H¯λ 1 · λ 1 =|λ 1 | 2 =|λ 1 | 2 +n∑|r 1k | 2 ,also r 1k = 0für k = 2, ..., n. Auf dieselbe Weise zeigt man, daß alleNichtdiagonalelemente von R verschwinden.Sei jetzt A unitär diagonalisierbar, U H AU = diag(λ 1 , ..., λ n ) =: D,U H U = I . Es ist dannA H A = UD H U H UDU H = U|D| 2 U H = UDU H UD H U H = AA H . ⊓⊔Für eine beliebige m × n-Matrix A ist die n × n-Matrix A H A positivsemidefinit, denn für x ∈ C n gilt x H (A H A)x =‖Ax‖ 2 2≥ 0. Ihre Eigenwerteλ 1 ≥ λ 2 ···≥λ n ≥ 0 sind nach (6.4.4) nichtnegativ und können deshalb inder Form λ k = σk2 mit σ k ≥ 0 geschrieben werden. Die Zahlen σ 1 ≥···≥σ n ≥ 0 heißenk=2(6.4.6) singuläre Werte von A.Ersetzt man in (6.4.3) die Matrix A durch A H A,soerhält man sofort(6.4.7) σ 1 = max0≠x∈C n ‖Ax‖ 2‖x‖ 2= lub 2 (A), σ n = min0≠x∈C n ‖Ax‖ 2‖x‖ 2:Ist insbesondere m = n und A nichtsingulär, so gilt(6.4.8)1/σ n = maxx≠0‖x‖ 2 ‖A −1 y‖ 2= max = lub 2 (A −1 ),‖Ax‖ 2 y≠0 ‖y‖ 2cond 2 (A) = lub 2 (A) lub 2 (A −1 ) = σ 1 /σ n .