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6.6 Methoden zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren 69dadurch zu beschleunigen, daß man das QR-Verfahren nicht auf die MatrixA sondern auf die Matrixà := A − kIanwendet. Den Verschiebungsparameter (Shiftparameter) k wählt man alseinen guten Näherungswert für einen der Eigenwerte von A, so daß nacheiner eventuellen Umordnung der Eigenwerte λ j gilt|λ 1 − k|≥|λ 2 − k|≥···≥|λ n−1 − k|≫|λ n − k| > 0.Dann wird das Element ã (i)n,n−1 der Matrixrascher gegen 0 konvergieren, nämlich wieà i für i →∞sehr vielλ n − ki∣λ n−1 − k ∣ ≪ 1.Man beachte, daß mit A auch à = A − kI und alle à i Hessenbergmatrizensind, deren letzte Zeilen die Forme T nÃi = [0,...,0, ã (i)n,n−1 , ã(i) nn ]besitzen. Wählt man allgemeiner in jedem Iterationsschritt einen neuenShiftparameter, so erhält man das QR-Verfahren mit Shifts(6.6.5.2)A 1 : = A,Die Matrizen A i sind wegenA i − k i I =: Q i R i (QR-Zerlegung),A i+1 : = R i Q I + k i I.A i+1 = Q H i (A i − k i I)Q i + k i I = Q H i A i Q i ,nach wie vor untereinander unitär ähnlich. Darüber hinaus zeigt man wie inSatz (6.6.4.4) (s. Aufgabe 19)(6.6.5.3)A i+1 = P Hi AP i ,(A − k 1 I) ···(A − k i I) = P i U i ,wobei wieder P i := Q 1 Q 2 ···Q i und U i := R i R i−1 ···R 1 gesetzt ist. Fallsdarüber hinaus die R i nichtsingulär sind, gilt auch(6.6.5.4)A i+1 = R i A i R −1i= U i AU −1i.