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312 8 Iterationsverfahren für große lineare Gleichungssysteme(8.7.1.3) cg-Verfahren:Start: Wähle x 0 ∈ R n und setze p 0 := r 0 := b − Ax 0 .Für k = 0, 1, ...:1) Falls p k = 0, setze m := k und stop: x k ist die Lösung von Ax = b.Andernfalls2) berechnea k := r k T r kpk T Ap , x k+1 := x k + a k p k ,kr k+1 := r k − a k Ap k , b k := r k+1 T r k+1rk T r ,kp k+1 := r k+1 + b k p k .Bei der Durchführung des Verfahrens hat man also lediglich vier Vektorenzu speichern, x k , r k , p k und Ap k . In jedem Iterationsschritt fällt nur eineMatrix-Vektor-Multiplikation, Ap k , an, der restliche Aufwand entsprichtdem der Berechnung von sechs Skalarprodukten im R n : Der Gesamtaufwandist daher für dünn besetzte Matrizen A gering.Die wichtigsten theoretischen Eigenschaften des Verfahrens sind in folgendemSatz beschrieben:(8.7.1.4) Satz: Sei A eine positiv definite (reelle) n × n-Matrix und b ∈ R n .Dann gibt es zu jedem Startvektor x 0 ∈ R n eine kleinste ganze Zahl m,0 ≤ m ≤ n, mit p m = 0. Die Vektoren x k , p k , r k , k ≤ m, die von demcg -Verfahren (8.7.1.3) erzeugt werden, haben folgende Eigenschaften:a) Ax m = b: Das Verfahren liefert also nach spätestens n Schritten dieexakte Lösung der Gleichung Ax = b.b) r T jp i = 0 für 0 ≤ i < j ≤ m.c) riT p i = ri T r i für i ≤ m.d) pi T Ap j = 0 für 0 ≤ i < j ≤ m, pj T Ap j > 0 für j < m.e) r Tir j = 0 für 0 ≤ i < j ≤ m, r T j r j > 0 für j < m.f) r i = b − Ax i für i ≤ m.Aus Satz (8.7.1.4) folgt u. a., daß das Verfahren wohldefiniert ist, weil fürp k ≠ 0 stets r T k r k > 0, p T k Ap k > 0 gilt. Ferner sind wegen d) die Vektorenp k A-konjugiert, was den Namen des Verfahrens erklärt.Beweis: Wir zeigen als erstes durch vollständige Induktion nach k, daßfolgende Aussage (A k )für alle 0 ≤ k ≤ m gilt, wobei m der erste Indexmit p m = 0 ist: