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158 7 Gewöhnliche DifferentialgleichungenUm Verfahren noch höherer Ordnung zu erhalten, könnte man versuchen,die Konstanten a 0 , ..., a r−1 so zu bestimmen, daß in (7.2.11.9)gilt(7.2.11.11)ψ(1) = 1 + a r−1 +···+a 0 = 0c r+1 = c r+2 =···=c 2r−1 = 0.Der Ansatz (7.2.11.10) für χ(µ) würde dann zu einem Korrektor-Verfahrender Ordnung 2r führen. Leider sind die so erhaltenen Verfahren nichtmehr konvergent, weil die Polynome ψ, für die (7.2.11.11) gilt, nichtmehr die Stabilitätsbedingung (7.2.9.4) erfüllen: Dahlquist (1956, 1959)konnte nämlich zeigen, daß ein lineares r-Schrittverfahren, das die Stabilitätsbedingung(7.2.9.4) erfüllt, höchstens die Ordnung{ r + 1, falls r ungerade,p ≤r + 2, falls r gerade,besitzen kann [vgl. Abschnitt 7.2.8].Beispiel: Das konsistente Verfahren höchster Ordnung für r = 2 erhält manüber den Ansatzψ(µ) = µ 2 − (1 + a)µ + a = (µ − 1)(µ − a).Die Taylorentwicklung von ψ(µ)/ ln(µ) um µ = 1 liefertψ(µ)ln(µ) = 1 − a + 3 − a (µ − 1) + a + 5212 (µ − 1)2 − 1 + a24 (µ − 1)3 +···.Setzt manχ(µ) := 1 − a + 3 − a (µ − 1) + a + 5212 (µ − 1)2 ,so hat das resultierende lineare Mehrschrittverfahren für a ≠ 1 die Ordnung 3 und füra =−1 die Ordnung 4. Wegen ψ(µ) = (µ − 1)(µ − a) ist die Stabilitätsbedingung(7.2.9.4) nur für −1 ≤ a < 1 erfüllt. Insbesondere erhält man für a = 0ψ(µ) = µ 2 − µ, χ(µ) = 112 (5µ2 + 8µ − 1).Dies ist gerade das Adams-Moulton-Verfahren (7.2.6.6) für q = 2, das demnach dieOrdnung 3 besitzt. Für a =−1 erhält manψ(µ) = µ 2 − 1, χ(µ) = 1 3 µ2 + 4 3 µ + 1 3 ,das dem Verfahren von Milne (7.2.6.10) für q = 2 entspricht und die Ordnung 4besitzt (siehe auch Übungsaufgabe 11).Man übersehe nicht, daß für Mehrschrittverfahren der Ordnung p derIntegrationsfehler nur dann von der Ordnung O(h p ) ist, falls die Lösung