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212 7 Gewöhnliche DifferentialgleichungenEine raffiniertere Variante der Fortsetzungsmethode, die sich im Zusammenhangmit der Mehrzielmethode bewährt hat, wird bei Deuflhard (1979)beschrieben.Beispiel 2: Singuläre Randwertaufgabe.Die stationäre Temperaturverteilung im Innern eines Zylinders vom Radius 1wird beschrieben durch die Lösung y(x; α) der nichtlinearen Randwertaufgabe [vgl.Na und Tang (1969)]:(7.3.6.4)y ′′ =− y′x − αey ,y ′ (0) = y(1) = 0.α ist hier ein „natürlicher“ Parameter mit der Bedeutungα ˙= Wärmeerzeugung , 0
7.3 Randwertprobleme 213Die Koeffizienten y (i) (0), i = 2, 3, 4, ..., lassen sich alle durch λ := y(0), alsoeine noch unbekannte Konstante, ausdrücken; durch Einsetzen in die Differentialgleichung(7.3.6.4) findet man(7.3.6.6) y (2) (x) =−(y (2) (0) + x )2! y(3) (0) + x23! y(4) (0) +··· − αe y(x) ,woraus für x → 0 wirdy (2) (0) =−y (2) (0) − αe y(0) , d. h. y (2) (0) =− 1 2 αeλ .Durch Differentiation ergibt sich)y (3) (x) =−( 12y (3) (0) + 3 1 xy(4) (0) +··· − αy ′ (x)e y(x) ,also y (3) (0) = 0. Weiter ist) {( 2 }y (4) (x) =−( 13y (4) (0) + x(...) − α y (x)) ′ + y (2) )(x) e y(x) ,so daßy (4) (0) = 3 8 α2 e 2λ .Man kann zeigen, daß y (5) (0) = 0, allgemein y (2i+1) (0) = 0.Die singuläre Randwertaufgabe läßt sich nun wie folgt behandeln. Als Informationüber y(x; α) benutze man in der Nähe von x = 0 die Potenzreihendarstellung(7.3.6.5) und in „genügender“ Entfernung von der Singularität x = 0 die Differentialgleichung(7.3.6.4) selbst. Man hat z. B.⎧⎪⎨ − 1(7.3.6.7) y ′′ 2 αeλ[ 1 − 8 3 x2 αe λ] für 0 ≤ x ≤ 10 −2 ,(x) =⎪⎩ − y′ (x)− αe y(x) für 10 −2 ≤ x ≤ 1.xDer Fehler ist von der Größenordnung 10 −8 . Die rechte Seite enthält jetzt nochden unbekannten Parameter λ = y(0). Wie in 7.3.0 gezeigt, läßt sich dies aber alserweiterte Randwertaufgabe interpretieren. Man setzty 1 (x) := y(x),y 2 (x) := y ′ (x),y 3 (x) := y(0) = λund erhält das System von Differentialgleichungen auf [0, 1](7.3.6.8)y ′ 1 = y 2,y ′ 2 = ⎧⎪⎨⎪ ⎩− 1 2 αey 3y ′ 3 = 0mit den Randbedingungen[ ]1 − 3 8 x2 αe y 3für 0 ≤ x ≤ 10 −2 ,− y 2x − αey 1für 10 −2 ≤ x ≤ 1,
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Vorwort zur fünften AuflageAuch di
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Inhaltsverzeichnis6 Eigenwertproble
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InhaltsverzeichnisIX7.3.4 Schwierig
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6 Eigenwertprobleme6.0 EinführungV
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6.1 Elementare Eigenschaften von Ei
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6.1 Elementare Eigenschaften von Ei
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6.2 Die Jordansche Normalform einer
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(6.2.7)6.2 Die Jordansche Normalfor
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6.2 Die Jordansche Normalform einer
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6.3 Die Frobeniussche Normalform ei
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(6.3.7) ν (i)1≥ ν (i)2≥···
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6.4 Schursche Normalform, hermitesc
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lub(△A)lub(A)6.5 Reduktion von Ma
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6.5 Reduktion von Matrizen auf einf
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6.6 Methoden zur Bestimmung der Eig
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6.7 Berechnung der singulären Wert
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6.7 Berechnung der singulären Wert
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6.8 Allgemeine Eigenwertprobleme 83
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lub(A) ≤ ρ(A) + ε.6.9 Eigenwert
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6.9 Eigenwertabschätzungen 87Da de
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6.9 Eigenwertabschätzungen 89von B
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6.9 Eigenwertabschätzungen 91gilt.
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6.9 Eigenwertabschätzungen 93und b
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G[A] =={x H U H ΛUxx H U H Ux{µ
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6.9 Eigenwertabschätzungen 97Für
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Übungsaufgaben zu Kapitel 6 995. F
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Übungsaufgaben zu Kapitel 6 10113.
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Übungsaufgaben zu Kapitel 6 103[ ]
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29. a) Man beweise für die ν ×
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Literatur zu Kapitel 6 107Parlett,
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