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8.7 Krylovraum-Methoden 337und ihrer k-reihigen Untermatrizen T k bzw. S k , die man durch Streichen derletzten Zeile von ¯T k bzw. ¯S k erhält, ausdrücken: Man zeigt wie beim Beweisvon (8.7.2.6), (8.7.2.7) für k < mWegen W T k V k = D k , W T k ṽk+1 = V TkAV k = V k+1 ¯T k = V k T k +ṽ k+1 e T k ,A T W k = W k+1 ¯S k = W k S k +˜w k+1 e T k .W T k AV k = D k T k ,sowie wegen W T k AV k = (V Tk˜w k+1 = 0 folgtV Tk AT W k = D k S k ,AT W k ) T die weitere RelationS T k= D kT k D −1k,die man auch anhand der Definitionen der β k und ǫ k direkt verifizieren kann.Das Abbruchverhalten des Biorthogonalisierungsverfahrens (8.7.3.1) ist komplizierterals bei dem Arnoldi-Verfahren (8.7.2.3). Das Verfahren kann einmal in Schritt4) wegen ρ k+1 = 0 bzw. σ k+1 = 0 abbrechen. Wegen k = rg V k = dim K k (v 1 , A) =rg W k = dim K k (w 1 , A T ) ist dies äquivalent zudim K k+1 (v 1 , A) = k bzw. dim K k+1 (w 1 , A T ) = k,d.h. mit der A-Invarianz von K k (v 1 , A) bzw. der A T -Invarianz von K k (w 1 , A T ). DieSpalten von V k (bzw. W k ) liefern dann eine Basis dieser invarianten KrylovräumeK k (v 1 , A) (bzw. K k (w 1 , A T )). Es ist deshalb der Abbruchindex m von (8.7.3.1)kleiner oder gleich n.Leider kommt es auch vor, daß der Lanczos-Algorithmus vorzeitig in Schritt 1)wegen δ k = w T k v k = 0 abbricht (obwohl dann beide Vektoren v k und w k von 0 verschiedensind), bevor er eine Basis eines invarianten Krylovraums gefunden hat. Manspricht dann von einem „ernsthaften Kollaps“ („serious breakdown“) des Verfahrens.Für die Rechengenauigkeit gefährlich sind bereits Situationen, wenn |δ k |≈0 sehrklein wird und das Verfahren fast zusammenbricht („numerischer Kollaps“). DieseSituationen lassen sich aber (fast) alle mittels sog. look-ahead-Techniken entschärfen,wenn man die Biorthogonalitätsforderungen (8.7.3.4) abschwächt. So ist das QMR-Verfahren von Freund und Nachtigal (1991) eine Variante des Verfahrens (8.7.3.1),das (fast) alle ernsthaften Zusammenbrüche und zu kleine |δ k | vermeidet und trotzdemBasen v 1 , ..., v k und Basen w 1 , ..., w k der Krylovräume K k (v 1 , A) bzw.K k (w 1 , A T ) erzeugt, ohne die Struktur der Matrizen ¯T k (bzw. ¯S k ) wesentlich zubeeinträchtigen: diese Matrizen sind dann Blockmatrizen, ihre Blockkomponentenα i , β i , ρ i , ǫ i , σ i sind dann nicht mehr Zahlen, sondern einfache Matrizen mit einersehr geringen Zeilen- und Spaltenzahl. Ihre Dimension wird dabei im Verfahren sogesteuert, daß zu kleine |δ k | vermieden werden.Wir wollen hier lediglich das Prinzip des QMR-Verfahrens erläuternund verzichten deshalb der Einfachheit halber auf eine Darstellung dieserSteuerung, d.h. wir nehmen an, daß das Verfahren (8.7.3.1) nicht nach einemernsthaften Kollaps in Schritt 1) wegen δ k = 0 abbricht, sondern nur in