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7.2 Anfangswertprobleme 1797.2.17 Implizite Differentialgleichungen,Differential-Algebraische GleichungenBisher wurden nur explizite gewöhnliche Differentialgleichungen y ′ =f (x, y) (7.0.1) behandelt. Für viele moderne Anwendungen, bei denen großeimplizite SystemeF(x, y, y ′ ) = 0zu lösen sind, ist diese Einschränkung zu stark. Es ist deshalb auch ausGründen der Effizienz wichtig, Verfahren zur direkten Lösung solcher Systemezu entwickeln, ohne sie vorher in explizite Form zu bringen, was auchnicht immer möglich ist.Beispiele sehr großer impliziter Systeme findet man in vielen wichtigen Anwendungen,z. B. bei dem Entwurf von Mikrochips für moderne Rechner. Eine wirtschaftlichePlanung solcher Chips, in die auf engstem Raum Tausende von Transistoreneingeätzt sind, ist ohne den Einsatz numerischer Techniken nicht möglich.Ein Mikrochip stellt, abstrakt gesehen, ein kompliziertes elektrisches Netzwerk dar.Die Kirchhoffschen Gesetze für die elektrischen Spannungen und Ströme in denKnotenpunkten des Netzwerkes führen auf ein System von Differentialgleichungen,deren Lösungen gerade die Spannungen und Ströme als Funktionen der Zeit t sind.Anhand der numerischen Lösungen des Differentialgleichungssystems können alsonoch vor der eigentlichen Fertigung des Chips seine elektrischen Eigenschaften bestimmtwerden, d. h. man kann solche Chips auf einem Großrechner „simulieren“[s. z. B. Bank, Bulirsch und Merten (1990), Horneber (1985)].Die auftretenden Systeme von Differentialgleichungen sind implizit. Je nachKomplexität der verwendeten Transistormodelle unterscheidet man:(7.2.17.1)(7.2.17.2)(7.2.17.3)(7.2.17.4)Lineare, implizite SystemeC ˙U(t) = BU(t) + f (t),Linear-implizite, nichtlineare SystemeC ˙U(t) = f (t, U(t)),Quasilinear-implizite SystemeC(U) ˙U(t) = f (t, U(t)),Algemeine implizite SystemeF(t, U(t), ˙Q(t)) = 0,Q(t) = C(U)U(t).Der Vektor U, er kann mehrere tausend Komponenten enthalten, beschreibt die Knotenspannungendes Netzwerkes. Die Matrix C, in der Regel dünn besetzt und singulär,enthält die Kapazitäten des Netzwerkes, die spannungsabhängig sein können,C = C(U).Zur Lösung von Systemen des Typs (7.2.17.2) existieren bereits numerische Algorithmen[vgl. Deuflhard, Hairer und Zugk (1987), Petzold (1982), Rentrop (1985),Rentrop, Roche und Steinebach (1989)]. Die effiziente und zuverlässige numerischeLösung der Systeme (7.2.17.3) und (7.2.17.4) ist noch Gegenstand der Forschung[s. z. B. Hairer, Lubich und Roche (1989), Petzold (1982)].