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54 6 EigenwertproblemeÄhnliche Verhältnisse wie in diesem Beispiel liegen im allgemeinen vor,wenn zu dem betrachteten Eigenwert nichtlineare Elementarteiler gehören.Sei etwa λ j ein Eigenwert von A, zu dem es Elementarteiler von höchstens k-tem Grade [k = τ j , s. (6.2.11)] gibt. Durch ein numerisch stabiles Verfahrenkann man dann im allgemeinen [s. (6.9.11)] nur einen Näherungswert λ mitdem Fehler |λ − λ j |=O(eps 1/k ) erhalten [wir setzen hier der Einfachheithalber lub(A) = 1 voraus].Sei nun x 0 , x 1 , ..., x k−1 eine Kette von Hauptvektoren (s. Abschnitte6.2, 6.3) zum Eigenwert λ j ,(A − λ j I)x i = x i−1 für i = k − 1,...,0, (x −1 := 0).Für λ ≠ λ i , i = 1, ..., n, folgt dann sofort(A − λI) −1[ A − λI + (λ − λ j )I ] x i = (A − λI) −1 x i−1 ,(A − λI) −1 x i = 1λ j − λ x i + 1λ − λ j(A − λI) −1 x i−1 ,und daraus durch Induktion(A − λI) −1 x k−1 = 1λ j − λ x k−1 −i = k − 1,...,0,1(λ j − λ) 2 x k−2 +···±Für den Startvektor t 0 := x k−1 folgt somit für das zugehörige t 1∥∥t 1∥ ∥ ≈ O ( (λ j − λ) −k) = O(1/ eps)1(λ j − λ) k x 0.und daher ‖t 0 ‖/‖t 1 ‖=O(eps), sodaßt 1 als Eigenvektor von A akzeptabelist. Hätte man dagegen als Startvektor t 0 := x 0 den exakten Eigenvektorvon A genommen, so wäreund damitt 1 = 1λ j − λ t 0‖t 0 ‖‖t 1 ‖ = O( eps 1/k) .Wegen eps 1/k ≫ eps ist t 1 nicht numerisch akzeptabler Eigenvektor für denvorgelegten Näherungswert λ (vgl. Beispiel 1).Aus diesem Grunde führt man in der Praxis die inverse Iteration nurnoch in sehr rudimentärer Form durch: Nachdem man (numerisch akzeptable)Näherungswerte λ für die exakten Eigenwerte von A mittels eines numerischstabilen Verfahrens berechnet hat, bestimmt man probeweise für einige