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16 6 Eigenwertprobleme⎡ 0 0 0 0 1⎤1 0 0 0 −1F 1 = ⎢⎣ 0 1 0 0 −2 ⎥⎦ , F 2 =0 0 1 0 20 0 0 1 1[ 0 0] −11 0 1 , F 3 = [−1].0 1 1Die Frobeniussche Normalform hat hauptsächlich theoretische Bedeutung,ihr praktischer Nutzen für die Bestimmung von Eigenwerten ist gering:im einfachsten Fall einer nichtderogatorischen n × n-Matrix A läuft ihreBerechnung auf die Berechnung der Koeffizienten γ k des charakteristischenPolynomsϕ(µ) ≡ det(A − µI) = (−1) n (µ n + γ n−1 µ n−1 +···+γ 0 )hinaus, dessen Nullstellen die Eigenwerte von A sind. Es ist aber nicht zuempfehlen, zuerst die γ k und dann die Eigenwerte von A als Nullstellen desPolynoms ϕ zu berechnen, weil im allgemeinen die Nullstellen λ i von ϕ aufkleine Änderungen der Koeffizienten γ k von ϕ viel empfindlicher reagierenals auf kleine Änderungen der Matrix A [s. die Abschnitte 5.8 und 6.9].Beispiel: Satz (6.9.7) wird zeigen, daß das Eigenwertproblem für hermitesche MatrizenA = A H gut konditioniert in folgendem Sinne ist: Zu jedem Eigenwertλ i (A +△A) von A +△A gibt es einen Eigenwert λ j (A) von A mit|λ i (A +△A) − λ j (A)|≤lub 2 (△A).Hat die 20 × 20-Matrix A etwa die Eigenwerte λ j = j, j = 1, 2, ..., 20, so giltlub 2 (A) = 20 wegen A = A H (s. Übungsaufgabe 8). Versieht man alle Elementevon A mit einem relativen Fehler von höchstens eps, d.h. ersetzt man A durchA +△A mit |△A|≤eps |A|, so folgt (s. Übungsaufgabe 11)lub 2 (△A) ≤ lub 2 (|△A|) ≤ lub 2 (eps |A|)≤ eps √ 20 lub 2 (A)