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7.2 Anfangswertprobleme 169h 0 S(¯x; h 0 ) = T 00T 11h 1 S(¯x; h 1 ) = T 10 T 22ց(7.2.14.3)T 21 T 33h 2ց րS(¯x; h 2 ) = T 20 T 32ց րT 31 .. ..h 3րS(¯x; h 3 ) = T 30. ..Dabei ist..T ik := ˜T ik (0)gerade der Wert des interpolierenden Polynoms (besser nimmt man rationaleFunktionen) k-ten Grades in h 2 ,˜T ik (h) = a 0 + a 1 h 2 + ...+ a k h 2k ,mit ˜T ik (h j ) = S(¯x; h j ) für j = i, i −1, ..., i −k. Wie in 3.5 gezeigt wurde,konvergiert jede Spalte von (7.2.14.3) gegen y(¯x)limi→∞ T ik = y(¯x) für k = 0, 1,... .Insbesondere konvergieren bei festem k die T ik für i →∞wie ein Verfahren(2k + 2)-ter Ordnung gegen y(¯x). In erster Näherung gilt wegen(7.2.12.13) [s. (3.5.9)]T ik − y(¯x) . = (−1) k h 2 i h2 i−1 ···h2 i−k [ũ k+1(¯x) +ṽ k+1 (¯x)].Weiter kann man wie in 3.5 mit Hilfe des Monotonieverhaltens der T ikasymptotische Abschätzungen für den Fehler T ik − y(¯x) gewinnen.Hat man ein hinreichend genaues T ik =: ȳ gefunden, wird ȳ alsNäherungswert für y(¯x) akzeptiert. Anschließend kann man auf dieselbeWeise y(¯x) an einer weiteren Stelle ¯x =¯x + ¯H näherungsweise berechnen,indem man x 0 , y 0 , H durch ¯x, ȳ, ¯H ersetzt und das neue Anfangswertproblemwie eben löst.Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, daß das Extrapolationsverfahrenauch zur Lösung eines Anfangswertproblems (7.0.3), (7.0.4) für Systemevon n gewöhnlichen Differentialgleichungen anwendbar ist. In diesem Fallsind f (x, y) und y(x) Vektoren von Funktionen, y 0 , η i und schließlich