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160 7 Gewöhnliche Differentialgleichungenbesitzt die Nullstellenµ 2 + 2hµ − 1λ 1 = λ 1 (h) =−h + √ 1 + h 2 = √ 1 + h 2 (1 −λ 2 = λ 2 (h) =−h − √ 1 + h 2 =− √ 1 + h 2 (1 +Damit gilt nach Satz (7.2.9.8))h√ ,1 + h2h√1 + h2(7.2.12.3) η j = c 1 λ j 1 + c 2λ j 2, j = 0, 1, 2,...,wobei die Konstanten c 1 , c 2 mit Hilfe der Startwerte η 0 = 1, η 1 = 1 − hbestimmt werden können. Man findetund daherη 0 = 1 = c 1 + c 2 ,η 1 = 1 − h = c 1 λ 1 + c 2 λ 2 ,c 1 = c 1 (h) = λ 2 − (1 − h)λ 2 − λ 1= 1 + √ 1 + h 22 √ 1 + h 2 ,c 2 = c 2 (h) = 1 − h − λ 1λ 2 − λ 1Somit ist für x ∈ R h , h ≠ 0,= h221√1 + h2 + 1 + h 2 .(7.2.12.4) η(x; h) := η x/h = c 1 (h)[λ 1 (h)] x/h + c 2 (h)[λ 2 (h)] x/h .Man überzeugt sich leicht, daß die Funktionϕ 1 (h) := c 1 (h)[λ 1 (h)] x/heine für |h| < 1 analytische Funktion von h ist. Ferner istϕ 1 (h) = ϕ 1 (−h),denn offensichtlich gilt c 1 (−h) = c 1 (h) sowie λ 1 (−h) = λ 1 (h) −1 . Derzweite Term in (7.2.12.4) zeigt ein komplizierteres Verhalten. Es istc 2 (h)[λ 2 (h)] x/h = (−1) x/h ϕ 2 (h)mit der für |h| < 1 analytischen Funktionϕ 2 (h) = c 2 (h)[λ 1 (−h)] x/h = c 2 (h)[λ 1 (h)] −x/h .Wie eben sieht man ϕ 2 (−h) = ϕ 2 (h). ϕ 1 und ϕ 2 besitzen daher für |h| < 1konvergente Potenzreihenentwicklungen der Form).