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8.4 Anwendungen auf Differenzenverfahren – ein Beispiel 291y . .1•y j• • ••y 1x 1 x i 1 xFig. 23. Diskretisierung von Ω. .Mit der weiteren Abkürzungu ij := u(x i , y j ), i, j = 0, 1,...,N + 1,kann man den Differentialoperator−u xx − u yyfür alle (x i , y j ) ∈ Ω h bis auf einen Fehler τ ij durch den Differenzenoperator(8.4.2)4u ij − u i−1, j − u i+1, j − u i, j−1 − u i, j+1h 2ersetzen. Die Unbekannten u ij ,1≤ i, j ≤ N (wegen der Randbedingungenkennt man die u ij = 0für (x i , y j ) ∈ ∂Ω h ), genügen daher einem Gleichungssystemder Form(8.4.3) 4u ij − u i−1, j − u i+1, j − u i, j−1 − u i, j+1 = h 2 f ij + h 2 τ ij(x i , y j ) ∈ Ω h ,mit f ij := f (x i , y j ). Dabei hängen die Fehler τ ij natürlich von der Maschenweiteh ab. Unter geeigneten Differenzierbarkeitsvoraussetzungen fürdie exakte Lösung u kann man wie in Abschnitt 7.4 zeigen, daß τ ij = O(h 2 )gilt. Für genügend kleines h kann man daher erwarten, daß die Lösung z ij ,i, j = 1, ..., N des linearen Gleichungssystems(8.4.4) 4z ij − z i−1, j − z i+1, j − z i, j−1 − z i, j+1 = h 2 f ij , i, j = 1,...,N,z 0 j = z N+1, j = z i0 = z i,N+1 = 0 für i, j = 0, 1,...,N + 1,