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166 7 Gewöhnliche Differentialgleichungengehört. Es ist dannFür den Fehlerergibt sichE q = η p +=∫ xp+1(x p+1 , f (1)p+1 ), (x p, f p ), ..., (x p−q , f p−q )∫ xp+1∫ xp+1y(x p+1 ) = η p += η p +x p∫ xp+1x pQ (1)q+1E q := y(x p+1 ) − η (1)p+1x pQ (1)q+1 (x)dx − η p −x p(Q (1)q+1f (y, y(x)) dx∫ xp+1(x) dx.Q q(1)x p∫ xp+1(x) − Q(0) (x))dx −qdx(Q q(1)x p(x) − Q(0) (x))dx.Im ersten Term stimmt Q q(0) (x) mit dem Polynom Q(0)q+1(x) überein, das zuden Interpolationsstellen(x p+1 , f (0)p+1 ), (x p, f p ), ..., (x p−q , f p−q )gehört. Analog zu (7.2.13.3) ist dann geradeE q = C q+1 ( f (1)p+1 − f (0)p+1 ) − C q( f (1)p+1 − f (0)p+1 )= (C q+1 − C q )( f (1)p+1 − f (0)p+1 ).Sind nun die Stützpunkte x p+1 , x p , ..., x p−q äquidistant und ist h := x j+1 −x j , so gilt für den FehlerE q = y(x p+1 ) − η (1)p+1 = O(hq+2 ) . = Ch q+2 .Die weiteren Überlegungen gestalten sich nun nach früherem Muster (vgl.Abschnitt 7.2.5).Sei ε eine vorgegebene Toleranzschranke. Der „alte“ Schritt h alt wirdals „erfolgreich“ akzeptiert, falls|E q |=|C q+1 − C q |·|f (1)p+1 − f (0)p+1 | =|C . · h q+2 |≤ε.Der neue Schritt h neu wird als „erfolgreich“ angesehen, falls|C · h q+2neu |≤ε.gemacht werden kann. Elimination von C liefert wiederaltq