Springer-Lehrbuch - tiera.ru

272 8 Iterationsverfahren für große lineare GleichungssystemeMan beachte, daß (8.1.4) mit folgender speziellen Vektoriteration[s. 6.6.3] identisch ist[ ] [ ] [ ]111 0= W , W :=,x (i+1) x (i) B −1 b I − B −1 Awobei die n + 1-reihige Matrix W zum Eigenwert λ 0 := 1 den Linkseigenvektor[1, 0] und den Rechtseigenvektor [ 1x], x := A −1 b, besitzt. Nachden Ergebnissen von Abschnitt (6.6.3) wird die Folge [ ] [1x dann gegen 1](i) xkonvergieren, wenn λ 0 = 1 einfacher betragsdominanter Eigenwert von Wist, d. h. wennλ 0 = 1 > |λ 1 |≥···≥|λ n |die übrigen Eigenwerte λ 1 ,...,λ n von W (dies sind die Eigenwerte von(I − B −1 A)) dem Betrage nach kleiner als 1 sind.Jede Wahl einer nichtsingulären Matrix B führt zu einem möglichenIterationsverfahren (8.1.4). Es wird umso brauchbarer sein, je besser B diefolgenden Bedingungen erfüllt:a) Das Gleichungssystem (8.1.3) ist leicht nach x (i+1) auflösbar,b) die Eigenwerte von I − B −1 A sollen möglichst kleine Beträge haben.Letzteres wird umso eher der Fall sein, je besser B mit A übereinstimmt.Diese Optimalitäts- und Konvergenzfragen sollen in den nächstenAbschnitten untersucht werden. Hier wollen wir nur noch einige wichtigespezielle Iterationsverfahren (8.1.3) angeben, die sich durch die Wahl vonB unterscheiden. Dazu führen wir folgende Standardzerlegung von A(8.1.5) A = D − E − Fein mit⎡ ⎤a 11 0⎢D = ⎣. ⎥ .. ⎦ ,0 a nn⎡⎤ ⎡⎤0 00 a 12 ··· a 1na 21 0E =−⎢⎣.. .. . ⎥ .. ⎦ , F =− 0. ..⎢⎣ . ⎥ .. an−1,n ⎦ ,a n1 ··· a n,n−1 00 0und den Abkürzungen, falls a ii ≠ 0für i = 1, 2, ..., n:(8.1.6) L := D −1 E, U := D −1 F, J := L + U, H := (I − L) −1 U.