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122 7 Gewöhnliche Differentialgleichungenbei festem x für h → 0, h ∈ H x :={(x − x 0 )/n | n = 1, 2,...}. Dae(x; h)wie η(x; h) nur für h ∈ H x definiert ist, bedeutet dies die Untersuchungder Konvergenz von e(x; h n ) für die spezielle Schrittweitenfolge h n :=(x − x 0 )/n, n = 1, 2, ... . Wir nennen das Einschrittverfahren konvergent,falls(7.2.2.1) limn→∞ e(x; h n) = 0für alle x ∈ [a, b] und für alle f ∈ F 1 (a, b).Wir werden sehen, daß für f ∈ F p (a, b) Verfahren der Ordnung p > 0(7.2.1.9) konvergent sind und für sie sogar gilte(x; h n ) = O(h p n ).Die Ordnung des globalen Diskretisierungsfehlers ist also gleich der Ordnungdes lokalen Diskretisierungsfehlers.Wir zeigen zunächst den(7.2.2.2) Hilfssatz: Genügen die Zahlen ξ i einer Abschätzung der Formso gilt|ξ i+1 |≤(1 + δ)|ξ i |+B, δ> 0, B ≥ 0, i = 0, 1, 2,...,|ξ n |≤e nδ |ξ 0 |+ enδ − 1B.δBeweis: Aus den Voraussetzungen folgt sofort|ξ 1 |≤(1 + δ)|ξ 0 |+B,|ξ 2 |≤(1 + δ) 2 |ξ 0 |+B(1 + δ) + B,.|ξ n |≤(1 + δ) n |ξ 0 |+B[1 + (1 + δ) + (1 + δ) 2 +···+(1 + δ) n−1 ]= (1 + δ) n |ξ 0 |+B (1 + δ)n − 1δ≤ e nδ |ξ 0 |+B enδ − 1δwegen 0 < 1 + δ ≤ e δ für δ>−1.Damit können wir folgenden Hauptsatz beweisen:(7.2.2.3) Satz: Gegeben sei für x 0 ∈ [a, b], y 0 ∈ R das Anfangswertproblemy ′ = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 ,mit der exakten Lösung y(x). Die Funktion Φ sei stetig auf⊓⊔