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6.6 Methoden zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren 59natürliche Verallgemeinerung der Vektoriteration und der inversen Iteration(s. 6.6.3) auffassen läßt: Aus (6.6.4.4) erhält man nämlich wie im Beweisvon (6.6.4.2) die Beziehung (P 0 := I )(6.6.4.5) P i R i = AP i−1 , i ≥ 1.Partitioniert man die Matrizen P i und R i in der folgenden Weise[ R(r)i∗wobei P (r)i(6.6.4.5)P i = ( Pi r , ˆP (r) )i , Ri =eine n × r-Matrix und R (r)i0 ˆR (r)i],eine r × r-Matrix ist, so folgt aus(6.6.4.6) AP (r)i−1 = P(r) iR (r)ifür i ≥ 1, 1 ≤ r ≤ n.Für die linearen Teilräume P (r)i:= R ( P (r) ) {i = P(r)iz | z ∈ C r} , die vonden (orthonormalen) Spalten von P (r)iaufgespannt werden, gilt daherP (r)i⊃ AP (r)i−1 = R( P (r) )für i ≥ 1, 1 ≤ r ≤ n,iR (r)iwobei Gleichheit herrscht, falls A und damit auch alle R i , R (r)inichtsingulärsind. Es liegt hier also eine Iteration von Unterräumen vor.Als Spezialfall r = 1 von (6.6.4.6) erhält man die normale Vektoriteration(s. 6.6.3) mit dem Startvektor p 0 := e 1 = P (1)0.Für die Vektorenp i := P (1)igilt nämlich wegen R (1)i= r (i)11und (6.6.4.6) die Rekursion(6.6.4.7) r (i)11 p i = Ap i−1 , ‖p i ‖=1, i ≥ 1.Die Konvergenz der p i kann man wie in Abschnitt 6.6.3 untersuchen. Wirnehmen dazu der Einfachheit halber an, daß A diagonalisierbar ist, für dieEigenwerte λ i|λ 1 | > |λ 2 |≥···|λ n |gilt und daß X = (x 1 ,...,x n ) = (x ik ), Y := X −1 = (y 1 ,...,y n ) T = (y ik )Matrizen mit⎡ ⎤λ 1 0(6.6.4.8a) A = XDY, D = ⎣ . .. ⎦0 λ nsind: x i ist Rechtseigenvektor, yi T Linkseigenvektor zu λ i ,{(6.6.4.8b) Ax i = λ i x i , yi T A = λ i yi T , yi T 1 für i = k,x k =0 sonst.Falls in der Zerlegung von e 1