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182 7 Gewöhnliche DifferentialgleichungenGantmacher (1969)]. Fall 3 wird hier nicht weiterverfolgt, da sich im Vergleichzu Fall 2 keine grundsätzlich neuen Erkenntnisse ergeben.Im Falle singulärer Kapazitätsmatrizen C zerfallen die Systeme(7.2.17.1) und (7.2.17.2) nach entsprechender Transformation in ein Differentialgleichungssystemund ein nichtlineares Gleichungssystem (die unabhängigeVariable bezeichnen wir wieder mit x):(7.2.17.7)y ′ (x) = f (x, y(x), z(x)),0 = g(x, y(x), z(x)) ∈ R n 2,y(x 0 ) ∈ R n 1, z(x 0 ) ∈ R n 2: konsistente Anfangswerte.Dieses entkoppelte System wird auch als differential-algebraisches Systembezeichnet [s. z. B. Griepentrog und März (1986), Hairer und Wanner(1991)]. Nach dem Satz über implizite Funktionen besitzt es eine lokal eindeutigeLösung, falls die Jacobimatrix( ) ∂gregulär ist (Index-1 Annahme).∂zDifferential-algebraische Systeme sind typisch für die Dynamik von Mehrkörpersystemen– die Index-1 Annahme kann hier allerdings verletzt sein[s. Gear (1988)].Numerische VerfahrenDas differential-algebraische System (7.2.17.7) kann als Differentialgleichungauf einer Mannigfaltigkeit interpretiert werden. Man kann daher zuseiner Lösung erfolgreich Homotopietechniken mit Lösern von Differentialgleichungen(siehe 7.2) und von nichtlinearen Gleichungen (siehe 5.4)kombinieren.Ansätze für Extrapolations- und Runge-Kutta-Verfahren lassen sich formaldurch Einbettung der nichtlinearen Gleichung (7.2.17.7) in eine Differentialgleichungεz ′ (x) = g(x, y(x), z(x))und Untersuchung des Grenzfalls ε = 0 gewinnen. Effiziente und zuverlässigeExtrapolations- und Einschrittverfahren für differential-algebraischeSysteme sind in Deuflhard, Hairer und Zugk (1987) beschrieben.Das in (7.2.16.10)-(7.2.16.12) angegebene Integrationsverfahren fürsteife Systeme läßt sich für implizite Systeme der Form (7.2.17.2) verallgemeinern.Das folgende Verfahren der Ordnung 4 mit Schrittweitensteuerungwurde von Rentrop, Roche und Steinebach (1989) angegeben. Mit der Notationaus Abschnitt 7.2.16 (und etwas verbesserten Koeffizienten) hat esfür autonome Systeme Cy ′ = f (y) die Form