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248 7 Gewöhnliche DifferentialgleichungenHier wirkt sich deutlich der Einfluß der exponentiell anwachsenden Lösungy(x) = ce 20x des homogenen Problems aus [vgl. Abschnitt 7.3.4].2) Mehrzielmethode: Um den Einfluß der exponentiell anwachsendenLösung y(x) = ce 20x des homogenen Problems zu mindern, wurde eingroßes m, m = 21, gewählt,0 = x 1 < x 2
7.6 Vergleich der Methoden 2494) Variationsverfahren: In der Methode von Abschnitt 7.5 wurdenals Räume S Räume Sp ∆ von kubischen Splinefunktionen zu äquidistantenEinteilungen∆: 0= x 0 < x 1 < ···< x n = 1, x i = ih, h = 1 n ,gewählt. Folgende maximale absolute Fehler ∆y =‖u S − y‖ ∞ [vgl. Satz(7.5.24)] wurden gefunden:h∆y1/10 6.0 · 10 −31/20 5.4 · 10 −41/30 1.3 · 10 −41/40 4.7 · 10 −51/50 2.2 · 10 −51/100 1.8 · 10 −6Um Fehler der Größenordnung ∆y ≈ 5·10 −12 wie bei der Mehrzielmethodezu erreichen, müßte h ≈ 10 −4 gewählt werden. Zur Berechnung allein derBandmatrix A (7.5.26) wären für diese Schrittweite ca. 4·10 4 Integrationennötig!Diese Ergebnisse zeigen eindeutig die Überlegenheit der Mehrzielmethodeselbst bei einfachen linearen separierten Randwertproblemen. Differenzenverfahrenund Variationsmethoden kommen selbst hier nur dann inFrage, wenn die Lösung nicht sehr genau berechnet werden muß. Um diegleiche Genauigkeit zu erreichen, hat man bei Differenzenverfahren Gleichungssystemegrößerer Dimension zu lösen als bei Variationsmethoden.Dieser Vorteil der Variationsmethoden fällt jedoch erst bei kleineren Schrittweitenh ins Gewicht und wird in seiner Bedeutung erheblich dadurch eingeschränkt,daß die Berechnung der Koeffizienten der Gleichungssystemeviel aufwendiger ist als bei den einfachen Differenzverfahren. Zur Behandlungnichtlinearer Randwertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungenkommt eigentlich nur die Mehrzielmethode in einer ihrer Varianten inFrage.
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Vorwort zur fünften AuflageAuch di
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Inhaltsverzeichnis6 Eigenwertproble
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InhaltsverzeichnisIX7.3.4 Schwierig
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6 Eigenwertprobleme6.0 EinführungV
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6.1 Elementare Eigenschaften von Ei
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6.1 Elementare Eigenschaften von Ei
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6.2 Die Jordansche Normalform einer
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(6.2.7)6.2 Die Jordansche Normalfor
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6.2 Die Jordansche Normalform einer
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6.3 Die Frobeniussche Normalform ei
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(6.3.7) ν (i)1≥ ν (i)2≥···
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6.4 Schursche Normalform, hermitesc
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lub(△A)lub(A)6.5 Reduktion von Ma
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6.5 Reduktion von Matrizen auf einf
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6.6 Methoden zur Bestimmung der Eig
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6.7 Berechnung der singulären Wert
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6.8 Allgemeine Eigenwertprobleme 83
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lub(A) ≤ ρ(A) + ε.6.9 Eigenwert
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6.9 Eigenwertabschätzungen 91gilt.
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G[A] =={x H U H ΛUxx H U H Ux{µ
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6.9 Eigenwertabschätzungen 97Für
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Übungsaufgaben zu Kapitel 6 995. F
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Übungsaufgaben zu Kapitel 6 10113.
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Übungsaufgaben zu Kapitel 6 103[ ]
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29. a) Man beweise für die ν ×
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Literatur zu Kapitel 6 107Parlett,
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