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die Gleichungθ(x) := ∆η(x) − ∆¯s(x)(7.3.9.16) θ(x) = θ(a) +und weiter mit Hilfe von (7.3.9.7)∫ xa7.4 Differenzenverfahren 231D y f ( t,η(t) ) θ(t)dt(7.3.9.17) θ(x) = Z(x)θ(a), ‖θ(x)‖≤K‖θ(a)‖ für a ≤ x ≤ b,mit einer geeigneten Konstanten K .Wegen (7.3.9.14) und (7.3.9.17) genügt es, ‖θ(a)‖=O(h) zu zeigen,um den Beweis von (7.3.9.4) abzuschließen. Nun zeigt man mit Hilfe von(7.3.5.10) und (7.3.9.15) auf dieselbe Weise wie (7.3.9.14), daß ∆s 1 =∆¯s(a) einer Gleichung der Form[A + B(Z(b) + O(h 2 ) )] ∆s 1∫ b=−F m − BZ(b) Z(t) −1( f ( t,η(t) ) − η ′ (t) ) dt + O(h)a=−F m − B [ ]∆¯s(b) − Z(b)∆s 1 + O(h)genügt. Wegen F m = r(s 1 , s m ) = r(η(a), η(b)) folgtA∆¯s(a) + B∆¯s(b) =−r ( η(a), η(b) ) + O(h).Durch Subtraktion von (7.3.9.2) und wegen (7.3.9.17) folgtAθ(a) + Bθ(b) = [ A + BZ(b) ] θ(a) = O(h),und damit θ(a) = O(h), weil (7.3.9.1) nach Voraussetzung eindeutig lösbarund damit A + BZ(b) nichtsingulär ist. Wegen (7.3.9.14), (7.3.9.17) istdamit (7.3.9.4) bewiesen.7.4 DifferenzenverfahrenDie allen Differenzenverfahren zugrunde liegende Idee ist, in einer Differentialgleichungdie Differentialquotienten durch passende Differenzenquotientenzu ersetzen und die so erhaltenen diskretisierten Gleichungen zulösen.Wir wollen dies an folgendem einfachen Randwertproblem zweiter Ordnungfür eine Funktion y :[a, b] → R erläutern.(7.4.1)−y ′′ + q(x)y = g(x),y(a) = α, y(b) = β.