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214 7 Gewöhnliche Differentialgleichungen(7.3.6.9) r =[]y 2 (0)y 1 (1)y 3 (0) − y 1 (0)= 0.Zur Behandlung mit dem Mehrzielverfahren wähle man die „Heftstelle“ 10 −2 alseinen Unterteilungspunkt, etwax 1 = 0, x 2 = 10 −2 , x 3 = 0.1, ..., x 11 = 0.9, x 12 = 1.Um die Glätte der Lösung an der Heftstelle muß man sich nicht kümmern, sie istdurch den Ansatz gesichert. In Verbindung mit der Homotopie [s. (7.3.6.3)] erhältman ausgehend von y(x; α 0 ) ≡ 0 die Lösung y(x; α k ) aus y(x; α k−1 ) mit nur 3Iterationen mühelos auf etwa 6 Ziffern genau (s. Fig. 11; Gesamtrechenzeit aufeiner CDC 3600 für alle 8 Trajektorien: 40 sec.).«¼¼¾Ý´Ü «µ¼½«¼«¼½«¼¼¼Ü Fig. 11. Lösung y(x; α) für α = 0(0.1)0.8.ƺ½¼7.3.7 Ein Beispiel: Optimales Bremsmanöver eines Raumfahrzeugsin der Erdatmosphäre (Re-entry Problem)Die folgende umfangreiche Aufgabe entstammt der Raumfahrt . Sie soll illustrieren,wie nichtlineare Randwertprobleme praktisch angepackt und gelöstwerden, denn erfahrungsgemäß bereitet die konkrete Lösung solcher Aufgabendem Unerfahrenen die größten Schwierigkeiten. Die numerische Lösungwurde mit der Mehrzielmethode durchgeführt mit dem Programm in Oberleund Grimm (1989).Die Bahnkoordinaten eines Fahrzeugs vom Apollo-Typ genügen beimFlug des Fahrzeugs durch die Lufthülle der Erde den folgenden Differentialgleichungen: