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6.9 Eigenwertabschätzungen 87Da der Kreis K i den Mittelpunkt a i,i und den Radius ∑ nk=1,k≠i |a i,k|besitzt, ist diese Abschätzung umso schärfer, je weniger sich A von einerDiagonalmatrix unterscheidet.Beispiel:⎡1 0.1⎤−0.1A = ⎣ 0 2 0.4 ⎦,−0.2 0 3K 1 ={µ ||µ − 1|≤0.2}K 2 ={µ ||µ − 2|≤0.4}K 3 ={µ ||µ − 3|≤0.2}K 1K 2K 340 1 2 3Fig. 1. GerschgorinkreiseInsbesondere kann man den letzten Satz verschärfen:(6.9.5) Korollar: Ist die Vereinigung M 1 = ⋃ kj=1 K i jvon k Kreisen K ij ,j = 1, ..., k, disjunkt von der Vereinigung M 2 der übrigen n − k Kreise,so enthält M 1 genau k und M 2 genau n − k Eigenwerte von A.Beweis: Ist A = A D + R, so setze man für t ∈ [0, 1]Dann istA t := A D + tR.A 0 = A D , A 1 = A.Die Eigenwerte von A t sind stetige Funktionen von t. Wendet man denGerschgorinschen Satz auf A t an, so findet man, daß für t = 0 genau kEigenwerte von A 0 in M 1 liegen und n − k in M 2 (mehrfache Eigenwerteentsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit gezählt). Da für 0 ≤ t ≤ 1alle Eigenwerte von A t ebenfalls in diesen Kreisen liegen müssen, folgt ausStetigkeitsgründen, daß auch k Eigenwerte von A 1 = A in M 1 liegen unddie restlichen n − k in M 2 .⊓⊔Da die Eigenwerte der Matrizen A und A T identisch sind, kann man(6.9.4), (6.9.5) auf A und auf A T anwenden und damit u.U. mehr Informationüber die Lage der Eigenwerte erhalten.