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7.3 Randwertprobleme 191w.. .w(x s (1) ).8 . . . . . . . . . . . .. . . . . .w(x s).>:.a.b....xFig. 6. Einfaches SchießverfahrenF ( s (0)) < 0, F ( s (1)) > 0(s. Fig. 6) kann man ¯s durch ein einfaches Bisektionsverfahren [s. Abschnitt5.6] berechnen.Da w(b; s) und damit F(s) i. a. [s. Satz (7.1.8)] stetig differenzierbareFunktionen von s sind, kann man auch das Newton-Verfahren zur Bestimmungvon ¯s benutzen. Dazu hat man ausgehend von einem Startwert s (0)iterativ Werte s (i) nach der Vorschrift(7.3.1.3) s (i+1) = s (i) − F( s (i))F ′( s (i))zu berechnen. Die Zahlen w(b; s (i) ) und damit F(s (i) ) kann man durchLösung des Anfangswertproblems(7.3.1.4) w ′′ = f (x,w,w ′ ), w(a) = α, w ′ (a) = s (i)bestimmen. Den Wert der Ableitung von F,F ′ (s) = ∂ w(b; s),∂sfür s = s (i) erhält man z. B. durch Behandlung eines weiteren Anfangswertproblems:Mit Hilfe von (7.1.8) bestätigt man leicht, daß für die Funktionv(x) :≡ v(x; s) = (∂/∂s)w(x; s)(7.3.1.5)v ′′ = f w (x,w,w ′ )v + f w ′(x,w,w ′ )v ′ , v(a) = 0, v ′ (a) = 1gilt. Wegen der partiellen Ableitungen f w , f w ′ ist das Anfangswertproblem(7.3.1.5) i. a. wesentlich komplizerter als (7.3.1.4). Aus diesem Grund ersetzt