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2 6 Eigenwertprobleme(6.0.3) Ax = λBxeine nichttriviale Lösung x ∈ C n , x ≠ 0, besitzt.Für beliebige Matrizen A und B ist dieses Problem noch sehr allgemeinund es wird nur kurz in Abschnitt 6.8 behandelt. Kapitel 6 beschäftigt sichhauptsächlich mit dem Sonderfall B := I von (6.0.3). Hier sind zu einern × n-Matrix A Zahlen λ ∈ C (die Eigenwerte von A) und nichttrivialeVektoren x ∈ C n , x ≠ 0 (die Eigenvektoren von A zum Eigenwert λ), zubestimmen, so daß(6.0.4) Ax = λx, x ≠ 0.In den Abschnitten 6.1–6.4 werden die wichtigsten theoretischen Ergebnisseüber das Eigenwertproblem (6.0.4) zu einer beliebigen n×n-Matrix Azusammengestellt. So beschreiben wir verschiedene Normalformen von A,die mit den Eigenwerten von A verknüpft sind, weitere Resultate über dasEigenwertproblem für wichtige spezielle Klassen von Matrizen A (z.B. fürHermitesche und normale Matrizen), sowie elementare Resultate über diesingulären Werte σ i einer allgemeinen m ×n-Matrix, die als die Eigenwerteσ 2ivon A H A bzw. AA H definiert sind.Fast alle Verfahren, um die Eigenwerte und Eigenvektoren einer MatrixA zu bestimmen, beginnen mit einem vorbereitenden Reduktionsschritt,in dem die Matrix A in eine zu A „ähnliche“, aber einfacher strukturierteMatrix B mit den gleichen Eigenwerten transformiert wird (B = (b i,k )ist entweder eine Tridiagonalmatrix, b i,k = 0für |i − k| > 1, oder eineHessenbergmatrix, b i,k = 0, für i ≥ k + 2), so daß die Standardverfahrenzur Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren von B weniger Rechenoperationenerfordern als bei ihrer Anwendung auf A. Eine Reihe solcherReduktionsmethoden werden in Abschnitt 6.5 beschrieben.Die Hauptalgorithmen zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektorenwerden in Abschnitt 6.6 dargestellt, darunter der LR-Algorithmus vonRutishauser (Abschnitt 6.6.4) und der leistungsfähige QR-Algorithmus vonFrancis (Abschnitte 6.6.4 und 6.6.5). Eng verwandt mit dem QR-Verfahrenist ein Verfahren von Golub und Reinsch zur Berechnung der singulärenWerte von Matrizen, es wird in Abschnitt 6.7 beschrieben. Nach einerkurzen Behandlung von allgemeinen Eigenwertproblemen (6.0.3) in Abschnitt6.8 schließt das Kapitel mit der Beschreibung einer Reihe nützlicherAbschätzungen für Eigenwerte (Abschnitt 6.9). Diese können dazu dienen,um die Sensitivität der Eigenwerte bei kleinen Änderungen der Matrix zustudieren.Eine detaillierte Beschreibung aller numerischen Aspekte von algebraischenEigenwertproblemen findet man in der ausgezeichneten Monographievon Wilkinson (1965), und bei Golub und Van Loan (1983); das