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k 1 := f (x, y),k 2 := f (x + α 2 h, y + hβ 21 k 1 ),k 3 := f (x + α 3 h, y + h(β 31 k 1 + β 32 k 2 )),.7.2 Anfangswertprobleme 121k s := f (x + α s h, y + h(β s1 k 1 +···+β s,s−1 k s−1 )).Man symbolisiert diese Verfahren mit Butcher (1964) anhand des Tableaus(7.2.1.16)0α 2 β 21α 3 β 31 β 32. .. ..α s β s1 β 2s ... β s,s−1c 1 c 2 ... c s−1 c sIn Abschnitt 7.2.5 werden weitere solche Verfahren beschrieben.Butcher (1964) hat diese Verfahren systematisch analysiert; von ihm,Fehlberg (1964, 1966, 1969), Shanks (1966) und vielen anderen sind Verfahrenvon höherer als vierter Ordnung angegeben worden; zusammenfassendeDarstellungen findet man bei Grigorieff (1972) und Stetter (1973),insbesondere aber bei Hairer, Nørsett und Wanner (1993).7.2.2 Die Konvergenz von EinschrittverfahrenIn diesem Abschnitt wollen wir das Konvergenzverhalten der von einemEinschrittverfahren gelieferten Näherungslösung η(x; h) für h → 0 untersuchen.Dazu sei f ∈ F 1 (a, b), y(x) die exakte Lösung des Anfangswertproblems(7.2.1.1), y ′ = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 , und das Einschrittverfahrendurch die Funktion Φ(x, y; h) gegeben,η 0 := y 0 ,für i = 0, 1,...:η i+1 := η i + hΦ(x i ,η i ; h),x i+1 := x i + h.Für x ∈ R h :={x 0 + ih | i = 0, 1, 2,...} liefert es die Näherungslösungη(x; h), η(x; h) := η i , falls x = x 0 + ih. Wir interessieren uns für dasVerhalten des globalen Diskretisierungsfehlerse(x; h) := η(x; h) − y(x)