Springer-Lehrbuch - tiera.ru

8.6 Das ADI-Verfahren von Peaceman-Rachford 299ρ ( H π (ω b ) ) ≈ ρ ( H(ω b ) ) κmit κ = √ 2.Die Zahl der Iterationen reduziert sich gegenüber dem gewöhnlichen optimalenRelaxationsverfahren um den Faktor √ 2 [Beweis: s. Übungsaufgabe17].8.6 Das ADI-Verfahren von Peaceman-RachfordNoch schneller als die Relaxationsverfahren konvergieren die ADI-Verfahren(alternating direction implicit iterative methods) zur iterativen Lösung speziellerlinearer Gleichungssysteme, die man bei Differenzenverfahren erhält.Von den vielen Varianten dieses Verfahrens beschreiben wir hier nur dashistorisch erste Verfahren dieses Typs, das von Peaceman und Rachfordstammt [s. Varga (1962) und Young (1971) für die Beschreibung weitererVarianten]. Wir wollen das Verfahren an dem Randwertproblem(8.6.1)−u xx (x, y) − u yy (x, y) + σ u(x, y) = f (x, y) für (x, y) ∈ Ω,u(x, y) = 0 für (x, y) ∈ ∂Ω, Ω := { (x, y) | 0 < x, y < 1 } ,für das Einheitsquadrat erläutern, das wegen des Terms σ u nur geringfügigallgemeiner als das Modellproblem (8.4.1) ist. Wir setzen im folgenden σals konstant und nichtnegativ voraus. Mit Hilfe der gleichen Diskretisierungund den gleichen Bezeichnungen wie in Abschnitt 8.4 erhält man jetzt statt(8.4.4) das lineare Gleichungssystem(8.6.2)4z ij − z i−1, j − z i+1, j − z i, j−1 − z i, j+1 + σ h 2 z ij = h 2 f ij , 1 ≤ i, j ≤ N,z 0 j = z N+1, j = z i0 = z i,N+1 = 0, 0 ≤ i, j ≤ N + 1,für Näherungswerte z ij der Werte u ij = u(x i , y j ) der exakten Lösung. DerZerlegung4z ij − z i−1, j − z i+1, j − z i, j−1 − z i, j+1 + σ h 2 z ij ≡≡ [2z ij − z i−1, j − z i+1, j ] + [2z ij − z i, j−1 − z i, j+1 ] + [σ h 2 z ij ],nach den Variablen, die in der gleichen horizontalen bzw. vertikalen Reihevon Ω h (s. Fig. 21) stehen, entspricht eine Zerlegung der Matrix A desGleichungssystems (8.6.2) Az = b der FormA = H + V + Σ.Dabei sind H, V , Σ durch ihre Wirkung auf den Vektor z definiert: