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Beweis: Nach Definition von y(x; s) isty(x; s) = s +Es folgt daher für a ≤ x ≤ by(x; s 1 ) − y(x; s 2 ) = s 1 − s 2 +7.1 Anfangswertprobleme, Theorie 113∫ xx 0∫ xund damit(7.1.5) ‖y(x; s 1 ) − y(x; s 2 )‖≤‖s 1 − s 2 ‖+L∣Für die FunktionΦ(x) :=∫ xx 0f (t, y(t; s))dt.x 0[ f (t, y(t; s 1 )) − f (t, y(t; s 2 ))]dt∫ xx 0‖y(t; s 1 ) − y(t; s 2 )‖dt∣‖y(t; s 1 ) − y(t; s 2 )‖dt∣.gilt Φ ′ (x) =‖y(x; s 1 ) − y(x; s 2 )‖ und daher wegen (7.1.5) für x ≥ x 0α(x) ≤‖s 1 − s 2 ‖ mit α(x) := Φ ′ (x) − LΦ(x).Das Anfangswertproblem(7.1.6) Φ ′ (x) = α(x) + LΦ(x), Φ(x 0 ) = 0,hat für x ≥ x 0 die Lösung(7.1.7) Φ(x) = e L(x−x 0)∫ xx 0α(t)e −L(t−x 0) dt.Wegen α(x) ≤‖s 1 − s 2 ‖ folgt so die Abschätzung0 ≤ Φ(x) ≤ e L(x−x 0) ‖s 1 − s 2 ‖∫ xx 0e −L(t−x 0) dt= 1 L ‖s 1 − s 2 ‖[e L(x−x 0) − 1] für x ≥ x 0und damit das verlangte Resultat für x ≥ x 0 ,‖y(x; s 1 ) − y(x; s 2 )‖=Φ ′ (x) = α(x) + LΦ(x) ≤‖s 1 − s 2 ‖e L|x−x 0| .Ähnlich geht man für x < x 0 vor.⊓⊔Den letzten Satz kann man verschärfen: Die Lösung des Anfangswertproblemshängt unter zusätzlichen Voraussetzungen sogar stetig differenzierbarvon dem Anfangswert ab. Es gilt