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7.5 Variationsmethoden 241Die Matrix A ist positiv definit, denn A ist wegen (7.5.9) symmetrisch undes gilt für alle Vektoren δ ≠ 0 auch u := δ 1 u 1 +···+δ m u m ≠ 0 und daherwegen Satz (7.5.11)δ T Aδ = ∑ i,kδ i δ k [u i , u k ] = [u, u] > 0.Das lineare Gleichungssystem(7.5.21) Aδ = ϕbesitzt somit eine eindeutige Lösung δ = ˜δ, die man mit Hilfe des Cholesky-Verfahrens (s. 4.3) berechnen kann. Wegen der IdentitätΦ(δ) = δ T Aδ − 2ϕ T δ = δ T Aδ − 2˜δ T Aδ + ˜δ T A˜δ − ˜δ T A˜δ= (δ − ˜δ) T A(δ − ˜δ) − ˜δ T A˜δ= (δ − ˜δ) T A(δ − ˜δ) + Φ(˜δ)und (δ − ˜δ) T A(δ − ˜δ) > 0für δ ≠ ˜δ folgt sofort Φ(δ)>Φ(˜δ) für δ ≠ ˜δ.Also liefert die zu ˜δ gehörige Funktionu S := ˜δ 1 u 1 +···+˜δ m u mdas Minimum (7.5.18) von F(u) auf S. Mit der Lösung y von (7.5.5) folgtwegen F(u S ) = min u∈S F(u) aus (7.5.16) sofort(7.5.22) [u S − y, u S − y] = min [u − y, u − y].u∈SWir wollen dies zu einer Abschätzung für den Fehler ‖u S − y‖ ∞ benutzen.Es gilt(7.5.23) Satz: Es sei y die exakte Lösung von (7.5.3), (7.5.5). Ferner sei S ⊂D ein endlichdimensionaler Teilraum von D und F(u S ) = min u∈S F(u).Dann gilt die Abschätzung‖u S − y‖ ∞ ≤ C‖u ′ − y ′ ‖ ∞für alle u ∈ S. Hierbei ist C = √ Γ/γ mit den Konstanten Γ , γ von Satz(7.5.11).Beweis: (7.5.12) und (7.5.22) ergeben für beliebiges u ∈ S ⊆ Dγ‖u S − y‖ 2 ∞ ≤ [u S − y, u S − y] ≤ [u − y, u − y] ≤ Γ ‖u ′ − y ′ ‖ 2 ∞ .Daraus folgt die Behauptung.⊓⊔