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262 7 Gewöhnliche Differentialgleichungenα, k : Parameter, k = 0.1, 10 −3 ≤ α ≤ 10 −1 .Obwohl f für x = 0 singulär ist, existiert eine Lösung y(x), die für kleines |x|analytisch ist. Trotzdem versagt jedes numerische Integrationsverfahren in derNähe von x = 0. Man helfe sich wie folgt:Unter Benutzung der Symmetrien von y(x) entwickle man y(x) wie in Beispiel2, Abschnitt 7.3.6 um 0 in eine Potenzreihe bis x 6 einschließlich; dabei sindalle Koeffizienten durch λ := y(0) auszudrücken. Mit Hilfe von p(x; λ) =y(0) + y ′ (0)x +···+y (6) (0)x 6 /6! erhält man ein modifiziertes Problem(∗)⎧⎨y ′′ = F(x, y, y ′ ) =⎩y(0) = λ, y ′ (0) = 0, y(1) = 1,d 2 p(x; λ)dx 2 für 0 ≤ x ≤ 10 −2 ,f (x, y, y ′ ) für 10 −2 < x ≤ 1,das jetzt numerisch besser lösbar ist.Man fasse (∗) als Eigenwertproblem für den Eigenwert λ auf und formuliere(∗) wie in Abschnitt 7.3.0 als ein Randwertproblem (ohne Eigenwert). ZurKontrolle seien die Ableitungen angegeben:y(0) = λ, y (2) λ(0) =3α(λ + k) , kλy(4) (0) =5α 2 (λ + k) 3 ,y (6) (3k − 10λ)kλ(0) =21α 3 (λ + k) 5 , y(i) (0) = 0 für i = 1, 3, 5.27. Gegeben sei das Randwertproblemy ′′ − p(x)y ′ − q(x)y = r(x), y(a) = α, y(b) = βmit q(x) ≥ q 0 > 0für a ≤ x ≤ b. Gesucht sind Näherungswerte u i für dieexakten Werte y(x i ), i = 1, 2, ..., n, x i = a + ih und h = (b − a)/(n + 1).Ersetzt man y ′ (x i ) durch (u i+1 − u i−1 )/2h und y ′′ (x i ) durch (u i−1 − 2u i +u i+1 )/h 2 für i = 1, 2, ..., n und setzt man weiter u 0 = α, u n+1 = β, soerhält man aus der Differentialgleichung ein Gleichungsystem für den Vektoru = [u 1 ,...,u n ] T Au = k, A eine n × n-Matrix, k ∈ R n .a) Man gebe A und k an.b) Man zeige, daß das Gleichungssystem für hinreichend kleines h eindeutiglösbar ist.28. Man betrachte für g ∈ C[0, 1] das Randwertproblema) Man zeige:mity ′′ = g(x), y(0) = y(1) = 0.∫ 1y(x) = G(x,ξ)g(ξ)dξ0G(x,ξ):={ ξ(x − 1) für 0 ≤ ξ ≤ x ≤ 1,x(ξ − 1) für 0 ≤ x ≤ ξ ≤ 1.