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140 7 Gewöhnliche Differentialgleichungendamit ist auch das Verfahren von Adams-Moulton ein Mehrschrittverfahrendes Typs (7.2.6.1) (hier mit r = q).Zu gegebenen η p , η p−1 , ..., η p+1−q kann man sich einen guten Startwertη (0)p+1für die Iteration (7.2.6.7) z. B. mit Hilfe des Verfahrens vonAdams-Bashforth (7.2.6.5) verschaffen. Aus diesem Grunde bezeichnet manVerfahren wie das Verfahren von Adams-Bashforth auch als Prädiktor-Verfahren (explizite Verfahren) und Verfahren wie das von Adams-Moultonals implizite Verfahren oder Korrektor-Verfahren (η (i)p+1wird durch die Iteration(7.2.6.7) „korrigiert“).Einige Zahlenwerte für die in (7.2.6.6) auftretenden Koeffizienten:β qi i = 0 1 2 3 4β 0i 12β 1i 1 112β 2i 5 8 −124β 3i 9 19 −5 1720β 4i 251 646 −264 106 −19Bei dem Verfahren von Nyström wählt man in (7.2.6.2) k = 1, j = 1 underhält so(7.2.6.8)η p+1 = η p−1 + h[β q0 f p + β q1 f p−1 +···+β qq f p−q ]∫ 1 q∏ s + 1mit β qi :=−i + l ds, i = 0, 1,...,q.−1l=0l≠iMan hat es wieder mit einem Prädiktor-Verfahren zu tun, das offensichtlichdie Gestalt (7.2.6.1) mit r = q + 1 hat.Bemerkenswert ist der Spezialfall q = 0. Hier ist β 00 = ∫ 1−1 1ds = 2und aus (7.2.6.8) wird(7.2.6.9) η p+1 = η p−1 + 2hf p .Dies ist die sog. Mittelpunktsregel (midpoint-rule), die der Approximationeines Integrals durch „Rechtecks-Summen“ entspricht.Die Verfahren von Milne sind wieder Korrektor-Verfahren. Man erhältsie für k = 0, j = 2 aus (7.2.6.2), wenn man p durch p + 1 ersetzt:η p+1 = η p−1 + h[β q0 f (x p+1 ,η p+1 ) + β q1 f p +···+β qq f p+1−q ](7.2.6.10)mit β qi :=∫ 0−2q∏l=0l≠is + l−i + l ds,Wie (7.2.6.7) löst man auch (7.2.6.10) iterativ.i = 0, 1,...,q.