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306 8 Iterationsverfahren für große lineare GleichungssystemeDies legt nahe, bei gegebenem m die Parameter r i > 0, i = 1, ..., m, sozu wählen, daß die Funktionm∏(8.6.17) ϕ(r 1 ,...,r m ) := maxr j − x∣α≤x≤β r j + x ∣möglichst klein wird. Man kann zeigen, daß für jedes m eindeutig bestimmteZahlen ¯r i mit α
8.6 Das ADI-Verfahren von Peaceman-Rachford 307Die Lösung von d 1 (α k ,β k ) kann man angeben, r (1)1= √ α k β k . Die optimalenADI-Parameter r (m)i, i = 1, 2, ..., m = 2 k ,können dann rekursiv berechnetwerden:(8.6.23)1. s (0)1:= √ α k β k2. für j = 0, 1, ..., k − 1: Bestimme s ( j+1)i, i = 1, 2, ...,2 j+1 , als die2 j+1 Lösungen der 2 j in x quadratischen Gleichungens ( j)i= 1 (x + α )k−1− jβ k−1− j, i = 1, 2,...,2 j .2x3. Setze r (m)i:= s (k)ifür i = 1, 2, ..., m = 2 k .Die s ( j)i, i = 1, 2, ...,2 j , sind gerade die optimalen ADI- Parameterfür das Intervall [α k− j ,β k− j ].Wir wollen diese Formeln benutzen, um für das Modellproblem (8.4.1),(8.4.4) bei festem m = 2 k das asymptotische Verhalten von d 2 k(α, β) fürN →∞zu studieren. Für α und β nehmen wir die bestmöglichen Schranken[s. (8.6.12)]:α = 4 sin 2 π2(N + 1) ,(8.6.24)β = 4 sin 2 Nπ2(N + 1) = 4 πcos2 2(N + 1) .Es gilt dann√π(8.6.25) d m (α, β) ∼ 1 − 4 m 4(N + 1)für N →∞, m := 2 k .Beweis: Durch vollständige Induktion nach k. Mit der Abkürzunggilt wegen (8.6.21), (8.6.22)(8.6.26a)(8.6.26b)Es genügtc k := √ α k /β kd 2 k(α, β) = 1 − c k,1 + c kck+1 2 = 2c k1 + ck2 .√π(8.6.27) c k ∼ 2 2k 4(N + 1) , N →∞,
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Vorwort zur fünften AuflageAuch di
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Inhaltsverzeichnis6 Eigenwertproble
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InhaltsverzeichnisIX7.3.4 Schwierig
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6 Eigenwertprobleme6.0 EinführungV
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6.1 Elementare Eigenschaften von Ei
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6.1 Elementare Eigenschaften von Ei
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6.2 Die Jordansche Normalform einer
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(6.2.7)6.2 Die Jordansche Normalfor
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6.2 Die Jordansche Normalform einer
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6.3 Die Frobeniussche Normalform ei
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(6.3.7) ν (i)1≥ ν (i)2≥···
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6.4 Schursche Normalform, hermitesc
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lub(△A)lub(A)6.5 Reduktion von Ma
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6.5 Reduktion von Matrizen auf einf
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6.6 Methoden zur Bestimmung der Eig
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6.7 Berechnung der singulären Wert
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6.7 Berechnung der singulären Wert
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6.8 Allgemeine Eigenwertprobleme 83
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lub(A) ≤ ρ(A) + ε.6.9 Eigenwert
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6.9 Eigenwertabschätzungen 87Da de
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6.9 Eigenwertabschätzungen 89von B
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6.9 Eigenwertabschätzungen 91gilt.
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G[A] =={x H U H ΛUxx H U H Ux{µ
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6.9 Eigenwertabschätzungen 97Für
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Übungsaufgaben zu Kapitel 6 995. F
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Übungsaufgaben zu Kapitel 6 10113.
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Übungsaufgaben zu Kapitel 6 103[ ]
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29. a) Man beweise für die ν ×
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Literatur zu Kapitel 6 107Parlett,
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