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226 7 Gewöhnliche Differentialgleichungen( )∂ŝ ∂p(y, ŝ) −1∂y =− ∂p(y, ŝ).∂ŝ ∂yDie Kettenregel und (7.3.8.3) liefern dann∂y(x 2 ;ˆx, ŝ)= ∂y(x 2;ˆx, ŝ) ∂ ˆx+ ∂y(x 2;ˆx, ŝ) ∂ŝ ∂y(ˆx)∂s 1 ∂ ˆx ∂s 1 ∂ŝ ∂y ∂s(1= G 2 (x 2 ;ˆx, ŝ) − f 2 (ˆx, ŝ) ∂ ˆx + ∂ŝ )∂y(ˆx),∂s 1 ∂y ∂s 1wo ∂y(ˆx)/∂s 1 eine Abkürzung für∂y(ˆx(s 1 ) − ; x 1 , s 1 )= ∂y(ˆx− )∂s 1 ∂ ˆx∂ ˆx+ ∂y(x; x 1, s 1 )∣∂s 1 ∂s 1∣∣x=ˆx −= f 1 (ˆx, y(ˆx − )) ∂ ˆx∂s 1+ G 1 (ˆx; x 1 , s 1 )ist. Die Behauptung des Satzes folgt dann aus der Kombination dieser Gleichungen.⊓⊔Der Satz erlaubt es, die Lösung eines Mehrpunkt-Randwertproblems(7.3.8.4) iterativ durch die Lösung eines relativ kleinen Systems (7.3.8.5)zu bestimmen, und zwar ähnlich genau und effizient wie bei der Lösung desanalogen Systems (7.3.5.3) für das gewöhnliche Randwertproblem (7.3.5.1).Die Größe des Systems (7.3.8.5) ist nämlich allein durch die Anzahl m derPunkte der Makrodiskretisierung bestimmt, obwohl die Anzahl der Funktionenf ν,µ auf der rechten Seite von (7.8.3.4) i.a. sehr viel größer ist (sie istgleich der Anzahl ∑ m−1ν=1 (κ ν − 1) aller Mikro-Intervalle, während die rechteSeite von (7.3.5.1) nur von einer einzigen stetigen Funktion f abhängt).7.3.9 Der Grenzfall m →∞der Mehrzielmethode(Allgemeines Newton-Verfahren, Quasilinearisierung)Unterteilt man das Intervall [a, b] immer feiner (m →∞), so konvergiertdie Mehrzielmethode gegen ein allgemeines Newton-Verfahren für Randwertaufgaben[vgl. etwa Collatz (1966)], das in der angelsächsischen Literaturauch unter dem Namen Quasilinearisierung bekannt ist.Bei dieser Methode wird eine Näherungslösung η(x) für die exakteLösung y(x) des nichtlinearen Randwertproblems (7.3.5.1) durch Lösungvon linearen Randwertproblemen verbessert: Durch Taylorentwicklung vonf (x, y(x)) und r(y(a), y(b)) um η(x) findet man in erster Näherung [vgl.die Herleitung des Newton-Verfahrens in 5.1]