Springer-Lehrbuch - tiera.ru

326 8 Iterationsverfahren für große lineare GleichungssystemeWir illustrieren das Verfahren für k = 2. In der Skizze bedeutet B −→ Ω Cdie Linksmultiplikation mit der Matrix Ω, C := Ω B. Mit * werden die Elementebezeichnet, die sich bei den einzelnen Transformationen ändern.[ x x x[ ¯H 2 , ḡ 0 ] = x x 0x 0] [Ω1∗ ∗ ∗ ]Ω2−→ 0 ∗ ∗x 0[ x x x−→ 0 ∗ ∗0 ∗=]=[ R2 g] 2= [ ¯R0 ¯γ 2 ḡ 2 ] .3Nun ist Q k := Ω k Ω k−1 ···Ω 1 eine unitäre Matrix, so daß‖βē 1 − ¯H k y‖ 2 =‖Q k (βē 1 − ¯H k y)‖ 2 =‖ḡ k − ¯R k y‖ 2 .Man erhält deshalb die Lösung y k des Ausgleichsproblems (8.2.7.10) alsLösung von∥ [ ] [ ]∥∥ gk Rkmin ‖ḡ k − ¯R k y‖ 2 = min − y∥ ,yy ¯γ k+1 0 2und damit als Lösung y k := R −1kg k des linearen Gleichungssystems(8.7.2.13) g k = R k y.Dann ist x k := x 0 + V k y k die Lösung von (8.7.2.1) [man beachte, daß fürk < m wegen rg ¯H k = k auch rg ¯R k = rg (Q k ¯H k ) = k ist, so daß R knichtsingulär ist].Also ist die Größe des Residuums b − Ax k gegeben durch(8.7.2.14) ‖b − Ax k ‖ 2 =‖βē 1 − ¯H k y k ‖ 2 =‖ḡ k − ¯R k y k ‖ 2 =|¯γ k+1 |.Es ist nun wichtig, daß man sich beim Übergang k − 1 → k einen großenTeil der Rechenarbeit sparen kann: Der Grund ist, daß sich ¯H k von ¯H k−1im wesentlichen nur durch eine zusätzliche Spalte unterscheidet,nämlich um die letzte Spalte⎡h 1,1 ... h 1,k−1⎤h 1,k0 ... 0 h k+1,k h. 2,1 .. . .¯H k =0. .. hk−1,k−1 .,⎢⎣ ..⎥.. hk,k−1 h k,k⎦