Springer-Lehrbuch - tiera.ru

6.6 Methoden zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren 45zur Berechnung aller Eigenwerte. Die beiden letzten Verfahren, insbesonderedas QR-Verfahren, sind die besten bekannten Methoden zur Lösungdes Eigenwertproblems.6.6.1 Berechnung der Eigenwerte einer HermiteschenTridiagonalmatrixUm die Eigenwerte einer Hermiteschen Tridiagonalmatrix⎡δ 1 ¯γ 2 0. γ(6.6.1.1) J = ⎢ 2 δ ..2 ⎣ . .. .⎥ .. ⎦ , δ i = ¯δ i ,¯γn0 γ n δ n⎤zu bestimmen, gibt es neben dem wichtigsten Verfahren, dem QR-Verfahren,das in Abschnitt 6.6.6 beschrieben wird, zwei naheliegende Methoden, dienun besprochen werden sollen. Sei o.B.d.A. J eine unzerlegbare (irreduzible)Tridiagonalmatrix, d.h. γ i ≠ 0für alle i. Andernfalls zerfällt J inunzerlegbare Tridiagonalmatrizen J (i) , i = 1, ..., k,J =⎡⎢⎣J (1) ⎤0J (2) . ..0 J (k)⎥⎦ ;die Eigenwerte von J sind dann die Eigenwerte der J (i) , i = 1, ..., k. Esgenügt also, unzerlegbare Matrizen J zu betrachten. Das charakteristischePolynom ϕ(µ) von J kann leicht rekursiv berechnet werden: Mit⎡⎤δ 1 ¯γ 2 0. γp i (µ) := det(J i − µI), J i := ⎢ 2 δ ..2 ⎣ . .. .⎥ .. ⎦ ,¯γi0 γ i δ ifindet man nämlich durch Entwicklung von det(J i − µI) nach der letztenSpalte die Rekursionsformel(6.6.1.2)p 0 (µ) := 1,p 1 (µ) = δ 1 − µ,p i (µ) = (δ i − µ)p i−1 (µ) −|γ i | 2 p i−2 (µ),ϕ(µ) ≡ p n (µ).i = 2, 3,...,n,