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7.2 Anfangswertprobleme 143τ(x, y; h) = 1 [z(x) + 2hz ′ (x) + 2h 2 z ′′ (x) + 8h3h6 z′′′ (x)− z(x) − 2h(z ′ (x) + hz ′′ (x) + h2 ) ]2 z′′′ (x) + O(h 3 )= h23 z′′′ (x) + O(h 3 ).Das Verfahren ist also konsistent und von zweiter Ordnung.Leichter bestimmt man die Ordnung der Verfahren aus 7.2.6 mittels derFehlerabschätzungen für interpolierende Polynome [s. (2.1.4.1)] bzw. fürdie Newton-Cotes-Formeln (3.1.4).Für f (x, y) :≡ 0, und z(x) :≡ y hat man bei einem konsistenten Verfahrenτ(x, y; h) = 1 h [y(1 + a r−1 +···+a 0 ) − hF(x; y, y,...,y; h; 0)],|τ(x, y; h)|≤σ(h),limh→0σ(h) = 0.Für stetiges F(x; y, y,...,y; .; 0) folgt daraus, da y beliebig ist,(7.2.7.6) 1 + a r−1 +···+a 0 = 0.Wir werden im weiteren an F häufig die Bedingung stellen(7.2.7.7) F(x; u r , u r−1 ,...,u 0 ; h; 0) ≡ 0für alle x ∈ [a, b], alle h und alle u i .Für lineare Mehrschrittverfahren ist(7.2.7.7) sicher immer erfüllt. Zusammen mit (7.2.7.6) garantiert (7.2.7.7),daß die exakte Lösung y(x) ≡ y 0 der trivialen Differentialgleichung y ′ = 0,y(x 0 ) = y 0 , auch exakte Lösung von (7.2.7.2) ist, falls ε i = 0für alle i.Da die von einem Mehrschrittverfahren (7.2.7.2) gelieferte Näherungslösungη(x; ε; h) auch von den Fehlern ε i abhängt, ist die Definition derKonvergenz komplizierter als bei Einschrittverfahren. Man kann natürlichnur erwarten, daß der globale Diskretisierungsfehlere(x; ε; h) := η(x; ε, h) − y(x)bei festem x mit h = h n = (x − x 0 )/n, n = 1, 2, ..., gegen 0 konvergiert,wenn auch die Fehler ε(x; h) mit h → 0 beliebig klein werden. Mandefiniert deshalb:(7.2.7.8) Def: Das durch (7.2.7.2) gegebene Mehrschrittverfahren heißt konvergent,fallslimn→∞η(x; ε; h n ) = y(x), h n := x − x 0, n = 1, 2,...,n