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7.2 Anfangswertprobleme 117Offensichtlich hängen die Näherungswerte η i von der Schrittweite h ab:Wir schreiben deshalb auch präziser η(x i ; h) statt η i . Die Funktion η(x; h)ist also nur fürbzw. fürx ∈ R h :={x 0 + ih | i = 0, 1, 2,...}{ }x − x0h ∈ H x :=n ∣ n = 1, 2,...definiert und zwar rekursiv durch [vgl. (7.2.1.3)]η(x 0 ; h) := y 0 ,η(x + h; h) := η(x; h) + hf(x,η(x; h)).Das Eulersche Verfahren ist ein typisches Einschrittverfahren. Allgemeinsind solche Verfahren durch eine FunktionΦ(x, y; h; f )gegeben und sie erzeugen ausgehend von den Startwerten x 0 , y 0 Näherungenη i für die Werte y i := y(x i ) der exakten Lösung y(x) auf analoge Weise[vgl. (7.2.1.3)]:(7.2.1.4)η 0 := y 0 ,für i = 0, 1, 2,...,η i+1 := η i + hΦ(x i ,η i ; h; f ),x i+1 := x i + h.Bei dem Verfahren von Euler ist beispielsweise Φ(x, y; h; f ) := f (x, y);hier ist Φ von h unabhängig.Im weiteren wollen wir der Einfachheit halber bei der Funktion Φdas Argument f fortlassen. Wie bei dem Eulerschen Verfahren (s. oben)schreiben wir auch präziser η(x i ; h) statt η i , um die Abhängigkeit derNäherungswerte von der Schrittweite h anzudeuten.Seien nun x und y beliebig aber fest gewählt und sei z(t) die exakteLösung des Anfangswertproblems(7.2.1.5) z ′ (t) = f (t, z(t)), z(x) = y,mit den Anfangswerten x, y.Dann gibt die Funktion⎧⎨ z(x + h) − yfür h ≠ 0,(7.2.1.6) ∆(x, y; h; f ) := h⎩f (x, y) für h = 0,