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300 8 Iterationsverfahren für große lineare Gleichungssysteme⎧⎨ 2z ij − z i−1, j − z i+1, j , falls w = Hz,(8.6.3) w ij = 2z ij − z i, j−1 − z i, j+1 , falls w = Vz,⎩σ h 2 z ij ,falls w = Σz.Σ ist eine Diagonalmatrix mit nichtnegativen Elementen, H und V sindbeide symmetrische positiv definite Matrizen. Für H sieht man das so:Ordnet man die z ij entsprechend den Zeilen von Ω h (s. Fig. 21) an, z =[z 11 , z 21 ,...,z N1 ,...,z 1N , z 2N ,...,z NN ] T ,soist⎡2 −1−1 . . . . ... .. . .. −1−1 2H =⎢⎣Nach Satz (7.4.7) sind die Matrizen⎡⎤2 −1−1. .. . ..⎢⎣ . .. . ⎥ .. −1 ⎦−1 2⎤. .. . ... .. . .. .2 −1−1 . . . . ... .. . ⎥ .. −1 ⎦−1 2und damit auch H positiv definit. Für V geht man ähnlich vor.Analoge Zerlegungen von A erhält man auch bei wesentlich allgemeinerenRandwertproblemen als (8.6.1).Im ADI-Verfahren wird das Gleichungssystem (8.6.2), Az = b, entsprechendder Zerlegung A = H + V + Σ äquivalent umgeformt in(H + 1 2 Σ + rI )z =(rI − V − 1 2 Σ )z + b,bzw. ))(V + 1 2 Σ + rI z =(rI − H − 1 2 Σ z + b.Dabei ist r eine beliebige reelle Zahl. Mit den Abkürzungen H 1 := H + 1 2 Σ,V 1 := V + 1 Σ erhält man so die Iterationsvorschrift des ADI-Verfahrens,2die aus zwei Halbschritten besteht,