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6 6 Eigenwertproblemedet(T −1 AT − µI) = det(T −1 (A − µI)T)= det(T −1 ) det(A − µI) det(T)= det(A − µI).Darüber hinaus bleiben die Zahlen ρ(λ), σ(λ) erhalten: Für σ(λ) folgt diesaus der Invarianz des charakteristischen Polynoms, für ρ(λ) daraus, daßwegen der Nichtsingularität von T die Vektoren x 1 , ..., x ρ genau dannlinear unabhängig sind, wenn die zugehörigen Vektoren y i := T −1 x i , i = 1,..., ρ, linear unabhängig sind.Bei den wichtigsten Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten undEigenvektoren einer Matrix A werden zunächst eine Reihe von ÄhnlichkeitstransformationenvorgenommenA (0) := A,A (i) := T −1iA (i−1) T i , i = 1, 2,...,um die Matrix A schrittweise in eine Matrix einfacherer Gestalt zu transformieren,deren Eigenwerte und Eigenvektoren man leichter bestimmenkann.6.2 Die Jordansche Normalform einer MatrixEs wurde bereits im letzten Abschnitt bemerkt, daß für einen Eigenwert λeiner n × n-Matrix A die Vielfachheit σ(λ) von λ als Nullstelle des charakteristischenPolynoms nicht mit ρ(λ), der Maximalzahl linear unabhängigerzu λ gehöriger Eigenvektoren, übereinstimmen muß. Man kann jedoch folgendeUngleichung zeigen(6.2.1) 1 ≤ ρ(λ) ≤ σ(λ) ≤ n.Beweis: Wir zeigen nur den nichttrivialen Teil ρ(λ) ≤ σ(λ). Sei ρ := ρ(λ)und seien x 1 , ..., x ρ linear unabhängige zu λ gehörige Eigenvektoren,Ax i = λx i ,i = 1,...,ρ.Wir wählen n −ρ weitere linear unabhängige Vektoren x i ∈ C n , i = ρ + 1,..., n, so daß die x i , i = 1, ..., n, eine Basis des C n bilden. Dann ist diequadratische Matrix T := (x 1 ,...,x n ) mit den Spalten x i nichtsingulär. Füri = 1, ..., ρ gilt nun wegen Te i = x i , e i = T −1 x i ,T −1 AT besitzt daher die GestaltT −1 ATe i = T −1 Ax i = λT −1 x i = λe i .