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286 8 Iterationsverfahren für große lineare Gleichungssysteme⎡ ⎤1 a d⎡ ⎤0 1 0PAP T = ⎢ ⎥⎣ b 1 0⎦ für P := ⎣ 1 0 0⎦ .c 0 10 0 1Im allgemeinen Fall geht man analog vor.Es gibt jedoch konsistent geordnete (8.3.10) Matrizen, die nicht die„property A“ besitzen. Dies zeigt das Beispiel[ 1 0] 0A := 1 1 0 .1 1 1Für unzerlegbare n × n-Matrizen A mit nichtverschwindenden Diagonalelementena ii ≠ 0, und der Zerlegung A = D(I − L−U) läßt sich häufig leichtmit Hilfe des Graphen G(J), der der Matrix J = L + U zugeordnet ist,entscheiden, ob A die „property A“ besitzt oder nicht. Dazu betrachte mandie Längen s (i)1 , s(i) 2, ...aller geschlossenen gerichteten Wege (gerichteteZyklen)P i → P k1 → P k2 →···→ P ks (i)= P iin G(J), die von P i nach P i führen. Mit l i bezeichnen wir den größtengemeinsamen Teiler der s (i)1 , s(i) 2 , ...l i = ggT(s (i)1 , s(i) 2 ,...)und nennen den Graphen G(J) 2-zyklisch, falls l 1 = l 2 =···=l n = 2, undschwach 2-zyklisch, falls alle l i gerade sind. Es gilt dann der folgende Satz,den wir ohne Beweis angeben:(8.3.11) Satz: Eine unzerlegbare Matrix A besitzt genau dann die „propertyA“, falls G(J) schwach 2-zyklisch ist.Beispiel: Zur Matrixgehört die Matrix⎡⎤4 −1 0 −1A = ⎢ −1 4 −1 0⎥⎣ 0 −1 4 −1 ⎦−1 0 −1 4⎡ ⎤0 1 0 1J := 1 ⎢ 1 0 1 0⎥4 ⎣ 0 1 0 1⎦1 0 1 0